J. Tasnery, op. cit

« La fonction f(x) a pour limite f(\) quand x tend vers X par des valeurs appartenant à l'intervalle (a, b). »

Gela équivaut exactement à dire que la fonction f(x) est continue pour la valeur X de la variable [5] '.

Supposons la fonction f(x) continue dans l'intervalle (a, b). Si, au lieu d'attribuer successivement à la variable x les valeurs discontinues : xx, #„.... a?»,.... appartenant à cet intervalle et ayant pour limite X, on la fait varier d'une manière continue de x0 à X (xQ étant une valeur de l'intervalle (a, b) autre que X), f(x) variera d'une manière continue de fix^) kf(X), et deviendra égale à f(\) pourar = X *.

C'est ce qu'on exprime en disant qu'au passage continu à la limite

lim x = X

correspond le passage continu à ta limite

\\mf(x)=:r(X)

quand x tend vers X par des valeurs quelconques de l'intervalle (a, 6) 3. x On résume toutes ces propriétés en disant qu'une fonction continue dans un intervalle passe par chaque valeur-limite située dans cet intervalle; c'est-à-dire, plus explicitement, qu'elle devient égale, pour x — ar0, à la limite des valeurs qu'elle prend quand x tend vers xQ, quelle que soit la valeur x0 prise dans l'intervalle considéré. On dit aussi, plus brièvement, qu'une fonction continue atteint toutes ses valeurs-limites.

On démontre encore le théorème suivant, d'après Calchy :

Une fonction continue ne peut passer d'une valeur positive à une valeur négative (ou inversement) sans s'annuler.

Corollaire. — Une fonction continue ne peut passer d'une valeur réelle à une autre sans passer par toutes les valeurs réelles intermédiaires.

« 11 importe de remarquer que cette propriété ne caractérise pas les fonctions continues 4. » C'est une condition nécessaire, mais non suffisante de la continuité : elle ne peut donc pas servir à la définir, comme on le fait trop souvent.

Ainsi la notion de limite, primitivement définie pour une suite discontinue de nombres, c'est-à-dire pour une fonction de l'indice n qui prend toutes les valeurs entières et positives, se trouve étendue à la suite continue des valeurs d'une fonction définie pour toutes les valeurs réelles d'un intervalle continu.

8. De même que la définition de la limite, celle de la convergence peut s'étendre aux fonctions. En effet, si f (x) est continue pour la valeur X, et si x et x' sont deux valeurs de la variable qui vérifient les inégalités :