J. Taxnkry, op. cit

on aura les inégalités corrélatives :

inx)-n*)i <* irw-naoi <•

d'où Ton conclura l'inégalité :

\f(x)-f(xf)\ <2e.

Réciproquement, on démontre que la fonction f (x) a une limite quand x tend vers X, si à chaque nombre positif e correspond un nombre positif tj tel que, sous les conditions :

|X — *| <i |X-*'| <rr

on ait :

Tel est le principe général de convergence de P. du Bois-Reymond *.

On remarquera l'analogie des deux théorèmes précédents avec les propositions relatives aux suites : Toute suite qui a une limite est convergente; Toute suite convergente a une limite [lre P., I, iv, 17].

9. La considération de la continuité permet de compléter la définition d'une fonction qui n'est pas définie pour toutes les valeurs réelles de la variable *.

L'exemple le plus remarquable de cette extension d'une fonction est la fonction exponentielle a* , qui n'est d'abord définie que pour les valeurs entières et positives de l'exposant 3. On définit d'abord cette fonction pour les exposants entiers négatifs, en généralisant la formule :

am : a* = am - n établie pour le cas où

m > n et en l'étendant au cas où

On trouve ainsi :

a-» = 4r tf°=i.

Cette définition correspond à l'extension de la notion de différence.

On définit ensuite la fonction pour les exposants fractionnaires, en généralisant la formule :

ls am r= an

vraie dans le cas où m est divisible par n, et en l'étendant aux cas où m n'est pas divisible par n. On trouve ainsi :

a" = i/â a1 == Va.

Cette définition correspond à l'extension de la notion de quotient *.

i. Théorie générale des fonctions, ch. v : Marche finale des fonctions. Cf. Stolz. op. cit., vol. I, ch. ix.