CHAPITRE III
Nous supposerons désormais acquises la notion de nombre qualifié et les règles des opérations algébriques à effectuer sur les nombres qualifiés (tant entiers que fractionnaires).
Nous appellerons tous ces nombres (positifs ou arithmétiques, négatifs et neutre) nombres réels f par opposition aux nombres imaginaires, que nous allons maintenant définir. Nous emploierons pour cela une méthode toute semblable à celle dont nous nous sommes servi pour définir les nombres fractionnaires et les nombres qualifiés.
1. On appelle nombre imaginaire l'ensemble de deux nombres réels rangés dans un ordre déterminé. Soient a et b ces deux nombres; on écrira provisoirement le nombre imaginaire sous la forme
2. Définition de légalité. — Deux nombres imaginaires sont égaux quand leurs termes correspondants sont respectivement égaux.
Ainsi l'égalité :
équivaut à ces deux égalités :
On voit immédiatement que cette définition vérifie les conditions générales de l'égalité, et notamment l'axiome : Deux grandeurs égales à une même troisième sont égales entre elles.
Remarque. — 11 ressort de cette définition que l'égalité de deux nombres imaginaires implique deux égalités entre nombres réels; elle représente donc deux conditions imposées aux quatre termes . des deux nombres imaginaires, tandis que l'égalité de deux nombres
fractionnaires ou qualifiés n'impose qu'une condition à leurs termes. On comprend dès maintenant qu'une équation entre quantités imaginaires puisse représenter symboliquement deux équations entre quantités réelles.
3. Définition de V addition. — On appelle somme de deux nombres imaginaires le nombre imaginaire formé en ajoutant les termes correspondants de ces deux nombres; c'est ce qu'exprime la formule :
(a, b) -f- (a', b') -. (a -ha\ b -f- b').
L'opération que nous venons de définir possède évidemment les mêmes propriétés (commutative, associative, etc.) que l'addition des nombres réels. D'ailleurs cette définition est identique à celle de l'addition des nombres qualifiés.
En vertu de cette définition, on a :
ce qui montre que le nombre imaginaire (0, 0; est le module de l'addition des nombres imaginaires. Il joue donc le même rôle parmi les nombres imaginaires que le zéro algébrique parmi les nombres qualifiés; nous l'appellerons, par analogie, zéro imaginaire, et nous le considérerons comme nul.
11 est manifeste que la somme de deux nombres imaginaires non nuls est différente de chacun d'eux.
4. Réciproquement y étant donnés deux nombres imaginaires différents (ou inégaux, c'est-à-dire non égaux), il existe un nombre imaginaire non nul, qui, ajouté au second, reproduit le premier; on l'appelle la différence du premier et du second.
Je dis que cette différence s'obtient par la formule :
(«, b) — (a, f/) — (a — «', b — b'). En effet, en vertu tic la règle de l'addition, on a : („ n\ b — b) H- («', b') - (a — a' -h a\ b — //-hé') — (a, b).
Ifrmmujue. — Grâce aux conventions établies pour les nombres qualifiés, la règle précédente ne souffre aucune restriction, car les différences algébriques (ju — a'), (b — b') existent toujours. La soustraction des nombres imaginaires est donc toujours possible, comme la soustraction algébrique.
On voit en même temps que, pour que deux nombres imaginaires soient égaux, il faut et il suffit que leur différence soit nulle.
En effet, si
(G, b) zrr («', //),
on a
ou
donc
et, réciproquement, de l'égalité
(a — a',b — b') =- (0, 0) on déduit celle-ci :
5. Théorème. — Le produit d'un nombre imaginaire par un nombre entier n, étant défini la somme de n nombres imaginaires égaux au proposé, s'obtient en multipliant ses deux termes par n. (Même démonstration que pour les couples.) On écrit donc :
(a, A)x n = (an, bn).
Théorème. — Le quotient d'un nombre imaginaire par un nombre entier n, étant par définition le nombre imaginaire qui multiplié par n reproduit le proposé, s'obtient en divisant ses deux termes par n.
Ce théorème résulte immédiatement du précédent. On écrit donc :
On démontrerait, comme pour les couples, que la règle de multiplication est encore vraie pour le cas où n est fractionnaire. Enfin, on conviendra que la formule
(a, b) X n -.:--. (an, bn),
vraie pour tout nombre arithmétique, est valable pour tout nombre qualifié n, à la condition de former les produits an, bn suivant les règles de la multiplication algébrique.
6. Définition de la multiplication. — On appelle produit de deux nombres imaginaires le nombre imaginaire qu'on obtient en combinant leurs termes suivant la formule :
(a, b) X (a', b') r (aa' — bb\ a// -h ba').
Il est aisé de vérifier que l'opération ainsi définie possède les propriétés commutative, associative, etc., de la multiplication algé-
brique, les quatre produits : an', bb\ ab\ bn' ', étant des produits algébriques.
Remarque. — Le produit d'un nombre imaginaire par (0,0) est (0, 0), comme on le voit en faisant dans la formule précédente a' et // nuls. Ainsi le zéro imaginaire joue le même rôle dans la multiplication des imaginaires que le zéro algébrique dans la multiplication algébrique. C'est une raison de plus pour le considérer comme nul.
Réciproquement, le produit de deux nombres imaginaires ne peut être nul que si l'un des facteurs est nul. En effet, pour qu'on ait
m' — bb' =r. 0, ab' -+- ba' = 0,
il faut, ou bien que
a - b —0, ou bien que
7. Cas particulier. — Si b' ~ ; 0, la formule générale devient :
Ki)X(«',0)r:((ia'>l.
Ce résultat est le même que si le multiplicateur était le nombre réel a1 [5J :
(<t, b) X a' - (aa\ ba').
Il est donc naturel de considérer un nombre imaginaire dont le second terme est nul comme identique au nombre réel qui forme son premier terme, puisqu'il joue le même rôle que ce nombre dans la multiplication.
Cette identification est légitime, attendu qu'elle est compatible avec les définitions de légalité, de l'addition et de la multiplication des imaginaires; en effet ces définitions coïncident, quand on y remplace les nombres imaginaires de la forme (», 0) par les nombres réels correspondants //, avec les définitions correspondantes établies pour les nombres réels; ce qui est facile à vérifier.
Si en particulier on fait dans la formule précédente
a' z 1, il vient
ce qui prouve que le nombre imaginaire (i, 0) est le module de la multiplication des imaginaires, et disparait comme facteur dans les produits. A ce titre, il peut être assimilé au nombre réel -f- 1.
Cri. III. — THÉORIE DES NOMBRES IMAGINAIRES 43
8. Au contraire, le nombre imaginaire (0, 1) n'est pas un facteur négligeable, car on a :
(aj,)x(0, !).-• (- b, a).
En particulier :
Ainsi le produit du nombre imaginaire (0, 1) par lui-même (ce qu'on peut appeler son carré), est égal au nombre réel — 1, en vertu de l'identification du nombre imaginaire (w, 0) au nombre réel n.
Remarquons de plus que tout nombre imaginaire («, b) peut être considéré comme la somme (f un nombre de la forme (a, 0) et d'un nombre de la forme (0, b), c'est-à-dire d'un nombre réel et d'un nombre purement imaginaire.
D'autre part, tout nombre purement imaginaire est égal au produit d'un nombre réel par le nombre imaginaire (0, 1) :
On peut donc réduire tous les nombres purement imaginaires à Vunité imaginaire (0, 1), qu'on désignera, pour simplifier l'écriture, par la lettre t.
Ainsi l'on pourra écrire tous les nombres imaginaires sous la forme :
a -h bîf
a et b étant des nombres réels.
9. Les règles du calcul algébrique s'appliqueront aux binômes de la forme
a -h bi,
si l'on convient de faire dans les formules :
tX * ----- t* - — i.
Il faut bien se garder de considérer cette formule symbolique comme une équation vraie, et de vouloir en tirer la valeur de »; on n'aboutirait qu'au résultat absurde
qui n'a aucun sens, car tout carré étant positif, un nombre négatif ne peut avoir de racine carrée [Ch. n (cf. p. 53), 15].
D'ailleurs, quand on dit que i a pour carré — 1, on n'entend pas par là le nombre négatif — i, mais le nombre imaginaire ( — 1, 0),
produit (conformément à la règle de multiplication des imaginaires) des nombres imaginaires (0, 1) et (0, 1).
Sans doute, l'identification des nombres réels aux nombres imaginaires dont le second terme est nul peut prêter à confusion; mais il suffît de se reportera la définition rigoureuse du nombre imaginaire pour dissiper cette confusion. 11 n'y a donc aucune contradiction entre ces deux propositions, qui sont également vraies : « Un nombre négatif n'a pas de racine carrée ; — Le nombre négatif — 1 a une racine carrée qui est i ; » car dans celle-ci, le nombre réel — 1 est au fond un nombre imaginaire dont le second terme est nul. De plus, quand on dit qu'un nombre négatif n'a pas de racine, cela signifie qu'il n'a pas de racine réelle; et quand, en considérant ensuite ce nombre comme imaginaire, on lui attribue une racine, c'est une racine imaginaire.
10. En somme, pour se faire une idée juste et exacte des imaginaires, on ne doit pas considérer la lettre i qui figure dans l'expression (a -h bi) comme un coefficient numérique (bien que dans le calcul on doive la traiter comme telle), mais comme un signe agglutinât!f destiné à associer les deux nombres réels a et by et surtout à marquer lequel des deux est le second .terme du nombre imaginaire (a, b). En effet, on pourrait représenter ce nombre simplement par le binôme symbolique a -f- b, en convenant de conserver l'ordre des deux termes. Mais pour pouvoir le soumettre au calcul algébrique, qui suppose la propriété commutative de l'addition, il faut distinguer ses deux termes par un indice quelconque. Tel est l'office de la lettre i; elle permet de traiter le binôme symbolique (a -h bi) comme un binôme réel, et d'en intervertir les termes : on a toujours
a -f- bi -: bi -f- a : : (ri, b).
L'indice i lui-même peut se mettre indifféremment avant ou après le terme qu'il spécifie, de sorte qu'on peut lui appliquer les règles de la multiplication algébrique, qui impliquent la propriété commutative. Ainsi :
bi = Ht, et
bi X b'i . bb' Xii : bb' X '* - bb' X (— 1) = — bb'.
Quand la lettre i est isolée, elle reprend sa valeur de nombre imaginaire, car elle représente le binôme (0 -f- li). Ainsi toutes les règles usuelles du calcul des imaginaires se dédui-
sent des définitions générales de l'égalité, de l'addition et de la multiplication, que nous avons posées ci-dessus; et il suffit, pour les obtenir, d'écrire avec la notation habituelle les formules qui traduisent ces définitions.
