Voir i,e Partie, II, iv

». Cf. Stolz, op. cit., vol. I, ch. vin.

La fonction exponentielle étant ainsi définie pour toutes les valeurs rationnelles qualifiées de la variable, on peut la définir aussi pour les valeurs irrationnelles de l'exposant, par continuité !.

En effet, la fonction ax est déjà continue pour toutes les valeurs rationnelles de la variable. Si Ton veut qu'elle soit encore continue pour toutes les valeurs irrationnelles, on devra considérer chaque valeur irrationnelle de l'exposant comme la limite d'une suite quelconque de valeurs rationnelles, et prendre pour valeur correspondante de la fonction la limite de la suite des valeurs correspondantes qu'elle prend. Autrement dit, soit :

(1) U}, Mf, .... uH , ....

une suite quelconque de nombres rationnels ayant pour limite le nombre irrationnel U; la fonction prend les valeurs correspondantes :

On démontre que cette suite a une limite, et que cette limite est la mémo quelle que soit la suite (1) qui définit le nombre irrationnel U. Cette limite sera, par définition :

et l'on posera :

pour c'est-à-dire pour :

lim aVn = a1

lim n = »

lim un = U.

En vertu de cette définition même, la fonction a* sera continue pour x = U [7J. En général, elle sera continue pour toutes les valeurs rationnelles et irrationnelles de la variable, et par suite continue dans tout intervalle réel [5].

Ainsi, quand une fonction est définie et continue pour l'ensemble des valeurs rationnelles d'un intervalle, on peut la définir pour l'ensemble des valeurs irrationnelles de cet intervalle en lui imposant la condition d'être aussi continue pour ces valeurs. On voit par cet exemple à quel point la loi de continuité est féconde, et quelle relation étroite elle établit entre les diverses valeurs d'une fonction, puisqu'elle suffit à déterminer entièrement une fonction pour une infinité d'autres valeurs que celles pour lesquelles elle était primitivement définie *.

10. En particulier, si une fonction n'est définie que dans un intervalle semi-continu [2], on peut l'étendre par continuité aux bornes mêmes de cet intervalle.

Soit, par exemple, une fonction f(x) définie dans tout l'intervalle (a, b) à