J. Tannbry, op. cit. y
2. U y a plus : l'ensemble des valeurs auxquelles la fonction se trouvé ainsi étendue par continuité est infiniment plus infini que l'ensemble des valeurs pour lesquelles elle est définie d'abord. Voir Note IV, $ 1, 17; § VI, 69, 70.
396 XOTE II
l'exclusion de la borne a (on suppose a < 6). Si cette fonction est continue dans cet intervalle, elle aura une limite quand x tendra vers a. En effet, si Ton prend deux valeurs x, x' appartenant à l'intervalle, et vérifiant les inégalités
on aura aussi
et par suite, en vertu de la continuité :
'lf(x)-f(af)\ <e
On en conclut, par le principe de convergence [8], que la fonction a une limite quand .r tend vers a par des valeurs appartenant à l'intervalle (a, h). Soit A cette limite de f{x)\ on dira qu'au passage continu à la limite
lim x = a -+- 0
correspond le passage continu à la limite
lim f(x) = A, et l'on écrira :
La notation (a -+- 0) signifie que x tend vers a par des valeurs supérieures à a.
De même, si la fonction f(x) est définie et continue dans l'intervalle (a, c) à l'exclusion de la borne a (en supposant a>c), elle aura une limite B quand x tendra vers a par des valeurs appartenant à cet intervalle, c'est-àdire par des valeurs réelles inférieures à a. On aura alors :
lim f(x) = B
pour le passage continu à la limite
lim x =i a — 0 et l'on écrira :
Si les deux limites sont égales :
on pourra écrire
f(a 4-0) = />-<))= /(a), et l'on aura
\\mf(x) = f(a) pour le passage à la limite
lim x = a
quand x tend vers a par des valeurs réelles quelconques. En d'autres termes, f(d-) sera définie et continue pour a? = a. Par suite, elle sera définie et continue dans tout l'intervalle (6, c), qui comprend la valeur a.
11. Définitions, — 1° Si une fonction f{x) n'est pas définie pour x =r a, mais si la fonction
rh=9(x)
s'annule pour * = a :
on dit que la fonction f(x) est infinie pour # = a, et Ton écrit :
f(a) ~oo.
2° Une fonction f(x) étant définie pour toutes les valeurs réelles (finies) de a?, si la fonction
est définie pour y = 0 :
9(0) = A, on dit que la fonction f(x) est définie pour x infini, et Ton écrit :
Corollaires. — I. Si, quand x croit indéfiniment en valeur absolue, f{x) tend vers une limite finie et déterminée A, c'est-à-dire si à chaque nombre positif c correspond un nombre positif N" tel que, sous la condition :
on ait :
la fonction f(x) sera définie même pour a; infini, Ton aura :
En effet, si Ton pose :
on pourra faire correspondre au nombre e un nombre *] tel que, sous la condition
on ait :
Car si Ton prend
la condition
résultera de la condition (qui est vérifiée, par hypothèse)
1*1 >N, puisqu'elle équivaut à celle-ci :
or
ïhi»"
donc
Ainsi Ton a
lim 9 (y) = A
pour
lira y = 0
c'est-à-dire
lim f(x) = A
pour
lim | a: | = o© .
Cette dernière formule signifie que x croit indéfiniment en valeur absolue en passant par toutes les valeurs réelles (positives ou négatives) ,.
En particulier, x peut croitre indéfiniment en valeur absolue, soit en parcourant toutes les valeurs positives croissantes, soit en parcourant toutes les valeurs négatives décroissantes. Ces deux passages continus se traduiront par les formules :
lim x : - : + oo , lim x = — oo .
On écrira les limites correspondantes de f (x) sous la forme suivante :
Si ces limites coïncident :
on dira que f(x) est continue pour .r infini, et cette valeur-limite unique s'écrira :
Remarque. — Cet emploi du mot continu, qui se justifie par une analogie incontestable, sort cependant de la définition rigoureuse de la continuité, telle que nous l'avons énoncée [5], car l'inégalité de condition
| oo — x | <rj
n'a évidemment plus de sens. Gela n'empêche pas les mathématiciens les plus scrupuleux de se servir du mot continu dans ce nouveau sens, qu'ils considèrent avec raison comme une extension naturelle et légitime du sens strict défini plus haut.
1. Les mathématiciens français sont les seuls qui se fassent scrupule d'employer cette notation, pourtant bien claire et fort commode. Serait-ce par un reste du préjugé flnitiste engendré par les controverses auxquelles a donné Heu la « métaphysique » du Calcul infinitésimal? Un jour, un professeur de la Sorbonne, voulant indiquer une suite de valeurs :
croissant indéfiniment, écrivit d'abord :
lim r„ = oo , puis effaça cette formule comme incorrecte, et la remplaça par celle-ci :
lim - = 0,
qui équivaut rigoureusement à la précédente. A quoi bon ce délour, pour dire exactement la même chose?
