Stolz, op. ci t. y vol. I, ch. ix

La règle de convergence d'une suite infinie rentre comme cas particulier dans la proposition précédente. En effet, si Ton considère le terme général Un d'une suite convergente comme une fonction de l'indice n définie pour toutes les valeurs entières et positives de n, on dira que un a pour limite U quand n croit indéfiniment par des valeurs entières et positives, et Ton écrira :

lim un = U pour :

lim n = -+- oo , ou plus simplement :

lim n» = U. *

II. Si, quand la variable indépendante x tend vers la valeur a, la fonction f(x) croit indéfiniment en valeur absolue de manière à dépasser tout nombre positif, c'est-à-dire si à chaque nombre positif N correspond un nombre positif y) tel que, sous la condition

\x — a\ <tî on ait

lf(*)l >N, la fonction f (x) sera infinie pour x = a :

f(a) = ac.

En effet, si Ton pose :

on pourra faire correspondre au nombre ^ un autre nombre positif e, tel que, sous la même condition

| x — a | <>i on ait

Pour cela, il suffit de prendre

6 ^Nf

car alors on aura (par hypothèse) :

et comme

il en résultera :

D'ailleurs, e peut être rendu aussi petit qu'on veut, puisque L'on peut prendre N aussi grand qu'on le veut. On aura donc

lim <?(x) = 0 1. J. Tansbry, op. cit., § 79. " "" ■

et par conséquent

lim | f(x) | =00 pour

lim x z=z a.

Remarque. — En vertu de la définition rigoureuse de la continuité, Ton ne peut plus dire que la fonction f(x) soit continue pour x = a, car l'inégalité qui figure dans l'énoncé devient :

ce qui n'a pas de sens. Pourtant on devrait pouvoir le dire, pour les mêmes raisons d'analogie qui permettent de dire qu'une fonction est continue pour x =2 oo . En effet, puisqu'on est convenu de dire que f (x) est infinie pour x = a, et d'écrire

attendu, d'autre part, qu'on est amené à considérer la croissance indéfinie d'une variable comme un passage continu à la limite

lim y = oo ,

on peut dire que la fonction y = f (x) est encore continue pour x = a, en ce sens qu'elle a pour limite f(a) quand x tend vers a :

lim f (x) = f(a) = oo .

Quoi qu'il en soit, il importe peu que cette façon de parler soit ou non adoptée par les mathématiciens et consacrée par l'usage, comme dans le cas étudié ci-dessus. Il nous suffit de faire remarquer l'analogie parfaite entre ces deux cas exceptionnels.

Cette analogie ressort davantage encore, si l'on observe que les deux cas sont en quelque sorte l'inverse l'un de l'autre. En effet, si y est fonction de x :

réciproquement, x est fonction de y :

x = F (y), et la fonction F est l'inverse de la fonction f [1]. Or si l'on a

lim y = oo

pour

inversement, on aura

pour

lim j-a,

lim x .= a

lim y =. oo ,

et Ton dira fort bien que la fonction F (y) est continue pour y = x, parce que :

lim F (y) = F (oo ) = a.

11 n'y a donc pas de raison pour qu'on ne dise pas, pareillement, que la fonction inverse f(x) est continue pour x = a, puisque Ton a :

lim f(x) = f(a) = oo .

D'ailleurs, bien qu'il soit d'usage de dire qu'une fonction qui devient infinie éprouve une discontinuité, on a bien soin de distinguer, en Analyse, les cas où une fonction devient discontinue en restant finie de ceux où elle devient discontinue en passant, comme on dit, par l'infini; et ces derniers ont souvent plus d'analogie avec le cas général de continuité qu'avec les solutions de continuité pour des valeurs finies. C'est ce que Ton verra mieux ailleurs !, où nous montrons que le point à l'infini peut être pour une fonction, soit un point ordinaire, soit un point singulier, de sorte qu'il y a lieu de distinguer en ce point, comme en un point quelconque à distance finie, la continuité et la discontinuité d'une fonction.

12. Pour achever de montrer les nombreuses et étroites liaisons de la notion de limite avec les idées de continu et d'infini, nous allons définir un autre sens du mot limite, qui est fréquemment employé dans la théorie des ensembles et par suite dans la théorie des fonctions *.

Etant donné un ensemble de nombres compris entre deux nombres finis M et m (c'est-à-dire un ensemble borné), on appelle limite supérieure de cet ensemble, soit le nombre le plus grand de cet ensemble, soit un nombre L plus grand que tous les nombres de l'ensemble, mais tel qu'il y ait dans l'ensemble au moins un nombre supérieur à (L — e), si petit que soit t. On appelle limite inférieure du même ensemble, soit le nombre le plus petit de cet ensemble, soit un nombre / plus petit que tous les nombres de cet ensemble, mais tel qu'il y ait dans l'ensemble au moins un nombre inférieur à (l •+- e), si petit que soit e.

En d'autres termes, la limite supérieure d'un ensemble de nombres est le plus grand de tous ces nombres (s'il existe), ou sinon, le plus petit des nombres supérieurs à tous ces nombres; et de même, la limite inférieure de l'ensemble est le plus petit de tous ces nombres (s'il existe), ou sinon, le plus grand des nombres inférieurs à tous ces nombres.

On détermine la limite supérieure d'un ensemble donné en décomposant la totalité des nombres rationnels en deux classes : la première comprend tous les nombres rationnels appartenant à l'ensemble ou plus petits qu'un nombre quelconque de l'ensemble; la seconde comprend tous les nombres rationnels plus grands que tout nombre de l'ensemble.

De même, la limite inférieure de cet ensemble est déterminée par la décomposition des nombres rationnels en deux classes, la première com-