J. Tannkry, op. cit. y §§ 16 et
prenant tous les nombres plus petits que tout nombre de l'ensemble, la seconde comprenant tous les nombres appartenant à l'ensemble ou plus grands qu'un nombre quelconque de l'ensemble.
Chacun de ces deux modes de décomposition définit toujours un nombre, rationnel ou irrationnel, et un seul; on démontre aisément que les deux nombres L et / ainsi définis jouissent des propriétés caractéristiques des limites supérieure et inférieure de l'ensemble considéré.
« Tout nombre, rationnel ou non, peut être regardé comme la limite supérieure de l'ensemble des nombres rationnels inférieurs et comme la limite inférieure de l'ensemble des nombres rationnels supérieurs à lui. »
Si Ton fait passer tous les nombres rationnels (non nuls) dans la classe supérieure, cette classe ne contiendra aucun nombre plus petit que tous les autres : on peut dire que ce mode de décomposition définit un nombre irrationnel, à savoir zéro.
Si au contraire on fait passer tous les nombres rationnels dans la classe inférieure, cette classe ne contiendra aucun nombre plus grand que tous les autres : on dira que ce mode de décomposition définit un nombre irrationnel, à savoir l'infini.
On peut donc dire en toute rigueur que l'ensemble des nombres rationnels a pour limite inférieure zéro, et pour limite supérieure Pinfini '.
13. Gomme le premier sens du mot limite, ce nouveau sens s'étend naturellement aux fonctions *.
On appelle limite supérieure ou inférieure d'une fonction définie dans un intervalle, la limite supérieure ou inférieure (au sens qui vient d'être défini) de l'ensemble des valeurs qu'elle prend quand la variable prend toutes les valeurs de l'intervalle considéré.
On démontre qu'une fonction continue dans un intervalle atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure dans cet intervalle 3.
On remarquera l'analogie de cette proposition avec le théorème déjà énoncé ci-dessus [7] :
Une fonction continue dans un intervalle passe par toute valeur-limite située dans cet intervalle.
Cette proposition est vraie même dans le cas où la limite supérieure ou inférieure est l'infini (positif ou négatif). En effet, cela veut dire que la fonction parcourt l'ensemble des nombres réels croissants (en valeur absolue) ; or Ton a vu que, si l'on veut la définir par continuité, elle doit atteindre alors sa valeur-limite, qui est l'infini [11, corollaire H].
Ainsi, dans les deux sens du mot limite, l'infini se comporte comme toute autre valeur finie, et peut être considéré, soit comme valeur-limite d'une fonction, soit comme limite supérieure ou inférieure d'un ensemble de valeurs : et il sera ou ne sera pas atteint par la fonction, suivant qu'elle sera continue ou discontinue pour cette valeur.
