Voir J. Tannery, op. cit
DE KRONECKER '
« Pour l'illustre algébriste, le nombre entier est le fondement solide et unique sur lequel doit reposer tout l'édifice de l'Arithmétique et de l'Algèbre, et la considération des nombres entiers négatifs, des nombres fractionnaires et des nombres algébriques peut être « évitée > en substituant aux égalités où figurent ces nombres des dongruences suivant certains modules ou systèmes de modules. C'est.... un développement systématique de l'idée émise par Cauchy, à savoir que la théorie des nombres imaginaires n'est autre chose que la théorie des congruences par rapport au module x* -f- 1. » >
Tel est, en deux mots, l'esprit de la théorie algébrique du nombre que nous allons exposer : elle a pour but, non pas de créer de nouvelles espèces de nombres (autres que le nombre entier), mais au contraire de les « éviter », suivant l'expression même de Kronecker.
Mais il convient auparavant de définir les congruences, et d'esquisser la conception des imaginaires proposée par Cauchy.
1. Définition. — On dit que deux quantités arithmétiques ou algébriques A et B sont congruentes par rapport au module M (quantité de même nature), et l'on écrit :
A = B [mod M]
si la différence (A — B) est divisible par M, ou encore, si les deux quantités A et B, divisées séparément par M, donnent le même reste. Ainsi la congruence précédente équivaut exactement à l'égalité suivante :
A — B = Ma ou A = Ma; H- B,
x désignant ici un nombre entier indéterminé. En particulier, une congruence dont le second membre est nul :
A == 0 [mod M]
1. Ueber den Zahlbegri/f, ap. Journal de Crelle, t. CI, p. 337. Cf. Hbrmann Schubert, System der Arithmetik und Algebra, Potsdam, 1885.
2. J. Tanner y, ap. Padé, Algèbre élémentaire, Préface, p. xiii, note.
signifie que le premier membre est divisible par le module, ce qui se traduit par l'égalité :
A = Mx,
x étant toujours un nombre entier indéterminé.
2. La notion de cowjruence a été introduite par Gauss l dans l'Arithmétique pure et dans l'Algèbre pure. En Arithmétique pure, c'est-à-dire dans la Théorie des nombres, on ne considère que des nombres entiers : la congruence sert alors à exprimer la divisibilité d'un nombre par un autre; en Algèbre pure, on ne considère que des polynômes entiers en x, qui jouissent, comme on sait, de propriétés analogues à celles des nombres entiers : la congruence sert alors à exprimer la divisibilité d'un polynôme entier en x par un autre.
On comprend dès lors l'utilité de cette notation et l'avantage qu'elle offre sur la notation par égalités. Dans une égalité algébrique (comme celles que nous venons d'écrire), le facteur x est indéterminé, l'on ne sait pas s'il est entier ou fractionnaire, rationnel ou irrationnel, réel ou imaginaire; il faut alors spécifier chaque fois à quel ensemble de nombres appartient la valeur indéterminée de x, puisqu'on ne peut l'indiquer dans les formules, ce qui complique le langage et rend les notations confuses. Au contraire, la congruence exprime que ce nombre indéterminé est un entier; c'est une notation qui implique naturellement l'idée de nombre entier, ou de polynôme entier, en un mot celle de divisibilité exacte et entière. C'est pourquoi cette notation est l'instrument propre de l'Arithmétique et de l'Algèbre pures, où la notion de divisibilité joue un rôle essentiel.
3. Par exemple, soit à résoudre en nombres entiers l'équation indéterminée du premier degré :
ax •+■ by = c
où a, 6, c sont des entiers donnés; en d'autres termes, soit proposé de trouver les nombres entiers qui, substitués k x et y, vérifient cette équation. On pourra la remplacer par une cougruence :
ax = c [mod 6] ou :
by ==c [mod a)
car chacune de ces congruences exprime que ses deux membres sont égaux à un multiple près du module, le coefficient de ce multiple étant un entier indéterminé.
Ainsi la résolution en nombres entiers des équations indéterminées peut se ramener à la résolution des congruences, et inversement le calcul des congruences peut se ramener à l'Algèbre indéterminée.
4. Dans le cas particulier où le module est zéro, une congruence n'a plus de sens; car il est convenu qu'on ne peut pas diviser par zéro. Mais si l'on se rcporle à l'égalité équivalente, on voit qu'une telle congruence doit être considérée comme une égalité rigoureuse : en eflet, si Ton pose
M = 0, 1. Disquisiliones arithmelic.v, arl. \.
la congruencc
A = B [mod 0]
équivaut à l'égalilé :
A — B = 0 ou A — H
d'où toute indétermination a disparu. De même, si dans chacune des congruences équivalentes à l'équation indéterminée
ax -h by = c
on annule le module, on doit retrouver les équations déterminées
ax = c, by = c.
Bien entendu, en Arithmétique, où le module est un nombre connu, il n'y a pas lieu d'envisager des congruences de module nul ; mais en Algèbre, où le module est un polynôme entier en x, qui peut s'annuler pour certaines valeurs de xy il y a intérêt à savoir ce que signifie la congruence pour ces valeurs de #; il ressort de ce qui précède qu'elle se réduit alors à une égalité (ou équation) rigoureuse entre ses deux membres. Inversement, les égalités et équations peuvent être considérées comme des congruences (absolues ou conditionnelles) par rapport au module zéro.
Il peut y avoir aussi des congruences à plusieurs modules : une telle congruence signifie que ses deux membres sont égaux, à des multiples près de tous les modules. Par exemple, la congruence :
ax = d [modd 6, c]
équivaut à l'équation indéterminée en nombres entiers :
ax -h by 4- cz = d
ainsi que les congruences :
by = d [modd <i, c] et :
cz = d [modd a, 6]
Si l'un des modules s'annule, on peut le supprimer. Si tous les modules s'annulent à la fois, la congruencc se réduit à une égalité (ou équation) exacte entre ses deux membres.
On peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres d'une congruence, et les multiplier (mais non les diviser) par une même quantité.
On peut ajouter à l'un des membres d'une congruence un multiple quelconque du module, ou de l'un des modules.
On peut enfin ajouter, retrancher, multiplier (mais non diviser) membre à membre deux ou plusieurs congruences de même module.
5. Cela posé, voici comment Cauchy a proposé de justifier les règles fondamentales du calcul des imaginaires. Toute égalité entre des quantités imaginaires (nombres ou expressions algébriques) serait une congruence par rapport au module (x* ■+■ i), l'indéterminée x remplaçant partout la lettre i ou le symbole y7 — i. Un nombre imaginaire (a -+- bi) serait alors représenté par un binôme du premier degré :
a -h bx.
Toutes les fois qu'une opération quelconque donnerait pour résultat un polynôme en x de degré supérieur au premier, on pourrait diviser ce polynôme par le module (x1 4- 1), et le reste serait encore un binôme du premier degré en x. Or le fait qu'un polynôme R est le reste de la division d'un polynôme A par un polynôme B s'exprime par la congruence :
A = R [mod B] qui équivaut à l'égalité :
A = BQ 4- R
formule ordinaire de la division. Donc toute opération effectuée sur des nombres imaginaires et toute relation entre ces nombres peut se représenter par une congruence de module (x1 4- i) entre binômes de la forme :
a 4- bx.
Par exemple, cherchons le produit des deux nombres imaginaires :
a 4- bx a' 4- b'x
On a, par la règle générale de la multiplication algébrique :
(a -+- bx) (a' 4- b'x) = aa' 4- (ab' 4- ba!) x 4- 66'. x1.
Or le second membre, qui figure le produit, est un polynôme du second degré en x; divisons-le par ( x* •+- 1) :
' bb'. x* 4- (ab' 4- ba') x -h aa' = bb' (s* 4- 1) [reste :] 4- (ab' 4- ba') x 4- aa' — bb'
ce qui peut s'écrire sous forme de congruence : 66'. x* 4- (ab' 4- 6a') x 4- aa' == (ab' 4- 6a') x 4- aa' — 66' [mod x* 4- i] Donc :
(a 4- bx) (a' 4- b'x) == aa' — 66' 4- (a6' 4- 6a') x [mod x1 4- i]
On reconnaît dans cette congruence la formule de multiplication des nombres imaginaires; il suffit, pour la retrouver, de remplacer x part, et le signe de la congruence par celui de l'égalité :
(a 4- 6i) (a' 4- 6'î) r- aa' — 66' 4- (ab' 4- 6a') i
On voit comment la considération du module de congruence (x* 4- i) explique la règle de multiplication posée a priori [i™ P., I, m, 6] et en particulier le signe du terme 66' dans le produit, signe qui détermine le sens et le rôle de la lettre i dans la multiplication ; car c'est de cette convention, eu apparence arbitraire, que découle la formule symbolique :
qui caractérise le calcul des imaginaires. Il semble donc que, grâce à la considération des congruenecs, ce calcul soit logiquement justifié, et purgé de tout mystère et de tout paradoxe.
6. C'est par des considérations analogues que Kronecker est parvenu, non pas à justifier l'invention des nombres négatifs, fractionnaires et algébriques, mais au contraire à « s'en passer » et à construire l'Algèbre pure, comme l'Arithmétique pure, sur l'unique notion de nombre entier, en
SUK LA THEORIE DES NOMBRES ALGEBRIQUES 607
rejetant tous ces symboles d'impossibilité qui n'ont aucun sens numérique. Il a été conduit à cette théorie rigoureuse et radicale du nombre par la conception des indéterminées, que Gauss a introduite dans l'Algèbre, et qui y joue un rôle essentiel, ainsi que nous l'avons indiqué [lro P., II, i, 7-8]. C'est ce que les citations suivantes feront mieux comprendre.
7. « On évite le concept de nombre négatif (entier) en remplaçant le facteur— i par une indéterminée ar, et l'égalité par une congruenec de module (a? 4- 1) !; ainsi l'égalité :
7—9=3—5 devient la congruenec :
7 4- 9x = 3 4- 5x [mod x 4- i]
Inversement, cette congruence devient l'égalité précédente, quand on détermine x par la condition :
c'est-à-dire en annulant son module. >
Par là se trouve supprimée l'absurdité arithmétique qui consiste à retrancher un nombre d'un autre plus petit que lui. Les expressions absurdes :
symboles de soustractions impossibles, sont remplacées par les binômes :
7 4- 9x 3 4- Sx
où l'on reconnaît sans peine les couples définis dans notre lro Partie [l, n]. Il est aisé de vérifier que la congruence de deux binômes a lieu dans les mêmes conditions que l'égalité des deux couples correspondants [ifrid., 2]. En effet, si (en vertu de la définition de la congruence) la différence :
(7 4- 9ar) — (3 4- 5x) = (7 — 3) 4- (9 — 5) x = 4 4- 4# = 4(z 4- 1 )
est divisible par le module {x 4- 1), c'est que le coefficient de x et le terme indépendant sont égaux, c'est-à-dire qu'on a :
7—3=9—5 ou :
Or c'est précisément ce qu'exprime la condition d'égalité des couples :
a — b = a' — b' si i
8. On retrouve immédiatement la règle d'addition des couples [ibid. , 3J : car la somme de deux binômes s'obtient en ajoutant séparément les coefficients de x et les termes indépendants :
(a 4- bx) 4- («' 4- b'x) — (a 4- a') 4- (b 4- b') x
Cette somme est encore un binôme de même forme. Puisque les deux membres sont identiques, ils sont naturellement congruents par rapport à
1. Nous avons fait remarquer [lre P., I, îr, 17J que tout nombre négatif est égal au produit de sa valeur absolue (c'est-à-dire d'un nombre arithmétique) par In ou — 1.
un module quelconque, (x 4- iï par exemple. L'identité précédente peut donc s'écrire sous forme de congruence :
(a 4- bx) 4- (a* 4- b'x) == (a 4- a') -h (6 -h 6') x [mod x 4- 1].
Pour former le produit de deux binômes, on applique la règle générale de la multiplication algébrique :
(a 4- bx) (a' 4- b'x) — aa' 4- (a6' 4- 6a') x 4- bb'. x1
Ce produit n'est pas un binôme de la même forme que ses facteurs; il contient un terme du second degré en x, bb'x*. Divisons-le par (#4- 1); le reste est 66', ce qui s'écrit :
66'. x* == 66' [mod x 4- 1] De cette congruence on conclut la congruence suivante : aa' 4- («6' 4- 6a') x +- 66'.x* == (aa' 4- 66') 4- (ab' 4- 6a') x [mod x 4- i] c'est-à-dire :
(a 4- bx) (a' 4- b'x) = (aa' 4- 66') 4- (<«6' 4- 6a') x [mod x 4- 1]
Le second membre est maintenant un binôme du premier degré en x. On retrouve ainsi la règle de multiplication des couples [ibid., 9] avec le signe caractéristique de 66', qui seul la distingue de la règle de multiplication des nombres complexes. La raison de cette différence est dans ce fait de calcul algébrique, que le reste de la division de 66'#* par (x 4- 1) est 4- 66', tandis que le reste de la division de bb'x1 par (x1 4- 1) est — 66'.
Ainsi la considération des congruences justifie le calcul des nombres négatifs aussi bien que celui des imaginaires, en rejetant tout non-sens numérique et tout symbole étranger à l'Arithmétique pure.
9. « On évite de même le concept de nombre fractionnaire en remplaçant
le facteur — par une indéterminée xmj et l'égalité par la congruence. Les
règles de l'addition et de la multiplication des fractions, qu'expriment les formules :
. 6 an -h bm
mn
) a 6 ab
[m n~' mn
sont fondées sur les congruenees suivantes, relatives cette fois à un système de trois modules :
.. ( axm 4- 6x„ == (an 4- 6m) xmn [modd mxm — i, nxn — i, mnxmn — i] ( axm x bxn = ab. xmn [modd mxm — i, nxn — i, mnxmn — i]
congruences qui résultent elles-mêmes des identités suivantes :
>mn
axm 4- bxn — (an 4- 6m) xr
4- an. xmn [mxm — 1)4- bm. xmn (nxn — i) Uj i — (axm 4- bxn) (mnxmn — i)
a*rm X bxn — a6. xmn
