a6. nxnxmn (mxm — 1) 4- a6. xmH {nx

— a6. xmxn (mnxmn — I)

qu'il est facile de vérifier en effectuant les produits indiqués. » Inversement, on passe des congruences (II) aux égalités (I) en annulant

tous les modules, comme le montrent les identités (III) dont tous les

termes s'annulent alors, sauf ceux de la première ligne. On détermine en même temps les indéterminées xm, xA, xmn, par les

équations de condition obtenues en égalant les trois modules à zéro :

mxm — 1 — 0 nxn — 1 =z 0

mnxnn — 1 — 0 d'où Ton tirerait :

Xm — m Xn — n

__ 1 Xmn — wm

10. Enfin la considération des congruences permet dé définir, ou plutôt d'éviter le concept général de nombre algébrique. Considérons une fonction entière à coefficients entiers :

f(x) = a, -h a, x -h a, ,r* -f- ... -h an-i xn-x 4- a„ xn

On sait qu'elle est décomposable en un produit de n facteurs binômes du premier degré, à coefficients réels où imaginaires; et que par suite l'équation :

a n racines réelles ou imaginaires conjuguées [cf. irc P., II, ni, 17]. Ces racines sont, par définition, des nombres algébriques [irc P., II, iv, i]. Ce sont ces nombres qu'il s'agit de définir en se passant de tout symbolisme irrationnel ou imaginaire.

Si l'équation

admet pour racine un nombre entier ordinaire A, il n'y a pas de difficulté ; cela signifie que le polynôme f(x) est divisible par le binôme (x — k), ce qui s'écrit :

f(x) = 0 [moda:— k]

En effet, si l'on annule le module (x — k), c'est-à-dire si l'on fait