Remarque. — Une équation de la forme

A -h Bî — 0,

où A et 8 représentent des expressions algébriques réelles, équivaut aux deux équations réelles suivantes :

En effet, si Ton attribue aux lettres, dans les expressions A et B, des valeurs numériques quelconques, le nombre imaginaire (A -f- Bi) ainsi obtenu ne peut être nul que si les deux nombres réels A, B ainsi obtenus sont nuls à la fois, c'est-à-dire si les deux équations

sont vérifiées simultanément par les valeurs numériques attribuées aux lettres dans A et B.

Cette remarque est le principe de remploi des imaginaires dans l'Algèbre et dans l'Analyse.

12. Définition. — On appelle imaginaires conjuguées deux expressions imaginaires qui ne diffèrent que par le signe de la partie purement imaginaire (c'est-à-dire du second terme), ou, comme on dit encore, par le signe de «; tels sont les binômes

a -h ai, a — ai

où a et b représentent indifféremment des nombres ou des expressions algébriques réelles.

Le produit de deux quantités imaginaires conjuguées est réel et positif : en effet, en appliquant la règle de multiplication des imaginaires, on trouve

(a -f- ai) {a — bi) =- a* — (W)1 = «' — (— b*) =r «' -f- b\

somme de carrés essentiellement positive. La racine de cette expression est donc essentiellement réelle; sa valeur arithmétique est appelée la valeur absolue de chacune des quantités conjuguées

(a -+- bî), (a — bi).

11 est aisé de voir que, grâce à l'identification des nombres réels aux nombres imaginaires dont le second terme est nul, cette définition coïncide avec celle de la valeur absolue d'un nombre qualifié.

En effet, pour un nombre imaginaire de la forme (a,0), la quantité (a2 -f- h1) se réduit au carré a8 de la partie réelle. Or, le carré de -f- a, comme celui de — a, est -h a1, dont la racine arithmétique est a. Ainsi la valeur absolue du nombre imaginaire (± a,0) est le nombre arithmétique a, c'est-à-dire précisément la valeur absolue du nombre réel qualifié ± a.

13. Nous n'insisterons pas davantage sur le calcul des imaginaires : il est clair, d'après ce qui précède, qu'il se ramène entièrement au calcul algébrique, grâce à la convention établie pour le symbole i, auquel se réduisent en définitive les nombres imaginaires. Nous nous dispenserons donc de définir la division des imaginaires : on conçoit aisément que le quotient de deux nombres imaginaires est, comme leur produit, un nombre imaginaire de même forme.

Dans cet exposé, nous avons conservé la locution traditionnelle : « nombre imaginaire », afin de ne pas dérouter le lecteur. Mais nous devons l'avertir qu'elle est à peu près abandonnée par les savants modernes, parce qu'elle semble attribuer à ces nouveaux nombres une sorte d'infériorité et d' « irréalité », et leur donne, aux yeux des profanes, un caractère chimérique et mystérieux. Aussi les mathématiciens l'ont-ils remplacée par l'expression de « nombre complexe », qui répond mieux à la conception claire et rigoureuse qu'ils se sont faite des imaginaires. Il est donc probable que le terme d* imaginaire tombera en désuétude, et ira rejoindre tant d'autres expressions métaphoriques des anciens auteurs (quantités rompues, sourdes, fausses, etc.). Il n'en restera d'autre trace dans le langage et la notation que la lettre i, qu'on a substituée partout au symbole absurde et gênant V — 1.

14. On remarquera que nous n'avons pas défini l'inégalité de deux nombres complexes, ou du moins le sens de cette inégalité. Deux nombres complexes non égaux sont inégaux, sans que l'un puisse être dit plus grand ou plus petit que l'autre. Cette remarque est intéressante à plusieurs égards. Elle prouve d'abord qu'il peut exister un système de nombres tel que le sens de l'inégalité de deux nombres quelconques n'y soit pas défini, ce qui n'empêche pas de les soumettre au calcul et d'obtenir des résultats bien déterminés, attendu qu'il suffit pour cela d'avoir défini leur égalité et les opérations fondamentales à effectuer sur ces nombres. Plus généralement, on peut concevoir un ensemble de grandeurs telles que l'on ne puisse dire de deux quelconques d'entre elles laquelle est la plus grande ou la

Cfl. III. — THÉORIE DES NOMBRES IMAGINAIRES 47

plus petite l ; ce qui contredit non seulement la définition banale et vicieuse qu'on donne trop souvent de la grandeur (« ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution * »), mais même l'idée qu'on s'en fait couramment, comme d'une chose qui comporte nécessairement du plus et du moins.

Ce paradoxe s'expliquera plus tard de lui-même 3 par l'interprétation géométrique des nombres complexes. Tout ce que nous pouvons dire à présent, c'est que l'ensemble des nombres complexes n'est pas linéaire comme celui des nombres réels, mais superficiel, c'est-à-dire à deux dimensions, puisque chacun d'eux se compose de deux termes indépendants, et que l'égalité de deux nombres complexes implique deux égalités entre leurs termes correspondants 4. Or, si l'on pouvait dire de chaque nombre complexe qu'il est plus grand ou plus petit que tel autre, on pourrait ranger tous les nombres complexes par ordre de grandeur, et partant transformer leur ensemble en une suite linéaire.

11 est vrai qu'on peut définir le sens de l'inégalité de deux nombres complexes quelconques comme suit : on pose 5 :

si ou si

a =l a\ b > b'i et

(a,b)<(a',b') si

a : a', ou si

Il est aisé de vérifier que cette définition est parfaitement légitime, attendu que, d'une part, elle est compatible avec celle de l'égalité des nombres complexes, et. que, d'autre part, ces deux définitions réunies comprennent tous les cas possibles. Néanmoins, cette définition n'est d'aucun usage dans la théorie des nombres complexes,

1. Quoi qu'en dise Cournot, Correspondance, etc., en. îv, n" 29.