Ibid

(>. Ibid., 68.

2° La réciproque du théorème précédent n'est pas vraie. La proposition : « Deux ensembles n'ont pas la même puissance, si l'un d'eux est équivalent à une partie intégrante de l'autre », n'est valable que si l'un au moins des ensembles est fini. En effet, si l'on suppose que cette proposition est fausse, c'est-à-dire que les deux ensembles sont équivalentsl il en résulte que l'un d'eux est équivalent à une partie intégrante de lui-même, et par suite infini; donc l'autre aussi est infini.

6. Théorème» — La suite naturelle des nombres entiers est infinie.

En effet, puisqu'après tout nombre entier il y en a un autre, on peut faire correspondre à chaque nombre entier le nombre suivant :

On voit que, par cette transformation, la suite naturelle se reproduit tout entière, à l'exception de 1 : elle est donc bien semblable â une partie intégrante d'elle-même, et par conséquent infinie.

On peut démontrer ce théorème d'une infinité de manières, en remarquant que la suite naturelle est semblable, par exemple, à la suite des nombres pairs (car à chaque nombre entier correspond un nombre double) :

à la suite des nombres impairs (semblable à la précédente) :

à la suite des nombres carrés :

c'est-à-dire :

etc., etc.

7. Un même ensemble fini est toujours semblable, quel que soit l'ordre de ses éléments, à la même suite de nombres :

pris consécutivement dans la suite naturelle des nombres à partir du premier. Cette suite finie de nombres, découpée sans interruption ni lacune en tête de la suite naturelle infinie, peut représenter tous les ensembles finis de la même puissance ou de la même classe. Or elle est complètement déterminée si l'on donne le nombre n qui la termine. Ce dernier nombre n sera appelé le nombre i des éléments de la suite

et de tous les ensembles équivalents; il définit leur puissance commune.

Ainsi la puissance d'un ensemble fini n'est autre chose que le nombre de ses éléments.

Corollaire. — Le nombre des éléments d'un ensemble fini est indépendant de leur ordre.

1. Dedkkind, op. cit., § 14, 161 (cf. 73). — Cette définition du nombre cardinal par le nombre ordinal, légitime au point de vue mathématique, est sujette, au point de vue philosophique, aux réserves et aux critiques formulées dans notre 2« Partie [Livre I, Ch. n, 7-8J.

Remarque, — L'hypothèse que l'ensemble est fini étant la condition essentielle de la proposition précédente (comme il ressort de sa démonstration), on peut dès maintenant prévoir qu'elle ne sera plus vraie pour un ensemble infini [of. 2« P., I, i, 9].

8. Quand un ensemble a la même puissance que la suite naturelle des nombres entiers, on peut, par hypothèse, le mettre sous la forme d'une suite simplement infinie :

<*i> flr a,, ani

chacun de ses éléments correspondant à un nombre entier différent qui indique son rang dans la suite et qu'on nomme son indice. Un tel ensemble est appelé dénombrable.

Réciproquement, toute suite simplement infinie ordonnée suivant Tordre des indices entiers croissants, étant semblable à la suite naturelle des nombres, est dénombrable, c'est-à-dire a la même puissance que l'ensemble des nombres entiers.

9. Théorème. — L'ensemble des nombres rationnels (positifs) est dénonv brable. En effet, chaque nombre rationnel (considéré comme une fraction) peut être représenté par un couple de nombres entiers rangés dans un ordre déterminé (a, 6) [lro P., I, i, i]. L'ensemble des nombres rationnels forme donc une suite à double entrée, qu'on peut figurer par le tableau suivant * :