J. Tànsehy, op. cit
Or, si l'on numérote (comme ci-dessus) toutes les cases de ce tableau en suivant un ordre déterminé, d'ailleurs quelconque (il est aisé d'en imaginer d'antres que celui que nous avons suivi) f, on établira une correspondance univoque et réciproque entre tous les nombres entiers et toutes les cases du tableau, dont chacune représente un couple de nombres entiers, c'est-à-dire un nombre rationnel. Comme d'ailleurs tous les nombres entiers sont inscrits sur les deux cùtés (entrées) de ce tableau, il comprend tous les nombres rationnels. Il est donc prouvé que l'ensemble des nombres rationnels peut être mis sous la forme d'une suite simplement infinie.
10. Remarque. — La démonstration précédente revient au fond à celle de M. C.vntor, dont elle n'est qu'une illustration géométrique; elle est moins rigoureuse peut-être, mais plus intuitive. M. Castor considère toutes
les fractions " dont la somme des termes est égale à un même nombre
entier N; autrement dit, toutes les solutions en nombres entiers positifs de l'équation
Ces fractions, au nombre de N — 1, sont par ordre de grandeur décroissante :
En faisant successivement N égal à 2, 3, 4, etc., on obtient des groupes successifs de 1, 2, 3, ..... fractions; si l'on range tous ces groupes à la suite les uns des autres, on forme une suite de fractions semblable à la suite des nombres entiers, c'est-à-dire simplement infinie :
11 est aisé de voir que la correspondance ainsi établie entre les nombres entiers et les nombres fractionnaires coïncide avec celle que figure notre table à double entrée : si l'on prend le numérateur de chaque fraction dans la première ligne (horizontale), et le dénominateur dans la première colonne (verticale), le nombre entier correspondant à cette 'fraction, c'est-à-dire son numéro d'ordre dans la suite précédente, se trouvera à l'intersection de la colonne du premier terme et de la ligne du second terme. On remarquera que les fractions dont la somme des termes est un même nombre N sont représentées par les cases d'une même diagonale du tableau, ce qui explique l'ordre adopté pour numéroter les cases.
Eu général, on peut faire correspondre d'une manière univoque et réciproque chaque nombre entier X à chaque couple de nombres entiers m et n au moyen de la formule suivante, due à M. Cantor :
). = -zr -4- M.
Cette correspondance coïncide encore avec celle que nous venons de définir. Pour s'en assurer, il suffit de poser
m -+- n = N, 1. Voir p. 480, note 2.
et de donner à N successivement les valeurs 2, 3, i, ; puis, dans chacune de ces hypothèses, de donner à m successivement les valeurs
4 O \ on \
et par conséquent à n les valeurs corrélatives
Quand m et n prennent chacun une fois toutes les valeurs entières, X prend toutes les valeurs entières, et chacune d'elles une seule fois.
11. Le théorème précédent est déjà paradoxal, car nous savons Llre P., I, iv, 6, 2°] que l'ensemble des nombres rationnels compris entre deux nombres entiers consécutifs est infini comme l'ensemble des nombres entiers. Il est vrai que la démonstration que nous venons d'exposer prouve qu'un ensemble composé d'un nombre fini ou même infini de suites simplement infinies est lui-même dénombrable. En effet, le tableau que nous avons décrit plus haut peut être considéré comme l'ensemble de ses lignes horizontales. Or chacune de ces lignes forme une suite infinie semblable à la suite des nombres entiers écrits sur la première ligne, et correspond, d'autre part, à un nombre différent de la première colonne, qui contient, elle aussi, la suite infinie des nombres entiers. Le tableau constitue donc une suite infinie de suites infinies, et l'on voit qu'il peut être mis, par le numérotage de ses cases, sous la forme d'une suite simplement infinie semblable à la suite des nombres entiers.
12. Mais on peut aller encore plus loin, et établir la proposition suivante :
Théorème. — L'ensemble des nombres algébriques réels est dénombrable.
Les détails dans lesquels nous sommes entré pour démontrer le théorème précédent nous dispensent d'insister sur la démonstration de celui-ci, qui est tout à fait analogue, mais seulement plus compliquée. Nous nous bornerons donc à en indiquer le principe.
Soit un nombre algébrique réel; par définition [lre P., Il, iv, 1], il est racine d'une équation algébrique à coefficients entiers (positifs ou négatifs) de degré n :
aQxn -+■ rtjtf*-1 -4- .... +fl*-i« + flii = 0.
On appellera hauteur de ce nombre algébrique le nombre entier suivant :
X = » — I -H Ou I -H «t | -+- •••• -H «» -i I -H «U I
Chaque nombre algébrique a évidemment une hauteur finie et déterminée. Inversement, on prouve qu'à chaque nombre entier donné N ne correspond qu'un nombre fini de nombres algébriques ayant pour hauteur N. On conviendra de ranger ces nombres par ordre de grandeur (croissante ou décroissante) ; ils formeront donc un groupe fini et bien ordonné.
Cela posé, on fait successivement N égal à 2, 3, i, etc., et Ton met bout à bout les groupes de nombres algébriques correspondant à chaque valeur de N. On obtiendra ainsi une suite linéaire simplement infinie, qui contiendra tous les nombres algébriques réels, C. Q. F. D.
13. Remarque. — Ce mode de démonstration comprend comme cas particulier la méthode indiquée plus haut [10] pour démontrer le théorème relatif à l'ensemble des nombres rationnels. En effet, les nombres rationnels sont tous les nombres algébriques racines de l'équation du premier degré
a0 x 4- ai — 0,
où a0i ai prennent toutes les valeurs entières positives et négatives. On en
tire
(h La hauteur de ce nombre algébrique sera donc
N = | *• | -H «i I (le degré n étant égal à 1). On reconnaît la formule employée ci-dessus [10] pour ranger tous les nombres rationnels positifs en une suite linéaire. Quant aux nombres rationnels négatifs, ils forment une suite symétrique, et partant semblable à la suite des nombres rationnels positifs; or on sait [11] que l'ensemble de deux suites simplement infinies peut être mis luimême sous la forme d'une suite simplement infinie.
Le dernier théorème est d'autant plus remarquable et surprenant, qu'il existe une infinité de nombres algébriques réels dont la différence avec un nombre réel quelconque a soit moindre que toute quantité donnée e ; autrement dit, il y a une infinité de nombres algébriques (et même de nombres rationnels); contenus dans tout intervalle réel (« -4- e, a — e) si petit qu'il soit. Néanmoins, l'ensemble des nombres algébriques réels n'a que la puissance de l'ensemble des nombres entiers, et peut se mettre sous la forme d'une suite simplement infinie.
