D'autre part, on démontre le théorème suivant

Étant donnée une suite simplement infinie de nombres réels différents :

(UJ tl|, M|, Un,»...

on peut, dans chaque intervalle réel (a, p) donné d'avance, trouver un nombre réel X n'appartenant pas à la suite (II), et par suite une infinité de tels nombres.

Corollaire. — L'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux nombres réels (a, p) n'est pas dénombrable.

En effet, s'il était dénombrable, on pourrait [8] ranger toutes les valeurs de cet ensemble en une suite de la forme (U), et alors on pourrait trouver dans l'intervalle (a, P) une infinité de nombres réels qui n'appartiendraient pas à l'ensemble, ce qui contredit l'hypothèse.

Ainsi aucune suite simplement infinie ne peut épuiser la totalité des nombres réels contenus dans l'intervalle (a, p), mais il en reste toujours une infinité en dehors d'une telle suite.

15. Du même théorème on déduit immédiatement la proposition suivante, démontrée par Liouville * :

i. Journal de Liouville, V* série, t. XVI.

Dans chaque intervalle réel (a, p) donné .d'avance, il y a une infinité de nombres transcendants.

En effet, l'ensemble des nombres algébriques réels peut former une suite simplement infinie semblable à la suite (U) [12].

16. Non seulement l'ensemble des nombres réels de tout intervalle fini a une puissance supérieure à celle de l'ensemble des nombres entiers [14], mais cela est encore vrai si Ton exclut de cet ensemble une suite simplement infinie de valeurs distinctes, formant un ensemble dénombrable ; par exemple, si Ton supprime tous les nombres rationnels ou même tous les nombres algébriques de l'intervalle donné.

En effet, si l'ensemble des valeurs qui restent, quand on a enlevé de l'intervalle un ensemble dénombrable, était lui-même dénombrable, l'ensemble des valeurs réelles de cet intervalle serait composé de deux ensembles dénombrables, et par conséquent aussi dénombrable [11], ce qui est faux [14].

17. On démontre d'ailleurs directement et en toute rigueur là proposition suivante :

L'ensemble des nombres irrationnels (et même l'ensemble des nombres transcendants) contenus dans un intervalle réel fini quelconque a la même puissance que l'ensemble des nombres réels de cet intervalle.

Par conséquent, le même ensemble a une puissance supérieure à celle de l'ensemble des nombres entiers (ou des nombres rationnels, ou des nombres algébriques).

C'est ce que nous avons grossièrement exprimé en disant que le nombre des nombres réels transcendants est infiniment plus infini que celui des nombres réels algébriques [iro P., II, iv, 6]. Nous voulions parler de la puissance de ces deux ensembles. On sait en effet que la puissance coïncide avec le nombre pour les ensembles finis [7] ; il n'en est pas de même dans les ensembles infinis, comme on le verra plus loin, quand nous aurons défini le nombre d'un ensemble infini.

18. Il y a donc lieu de distinguer deux puissances parmi les ensembles infinis : la première puissance sera celle de la suite des nombres entiers; c'est évidemment la plus petite puissance infinie, car c'est la première qui ne corresponde pas à un nombre entier (fini) ; la seconde puissance sera celle d'un intervalle réel fini et continu, par exemple de l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et t, qu'on appelle : intervalle (0, i).

19. On peut se demander si l'ensemble illimité et continu des nombres réels n'a pas une puissance supérieure à celle d'un intervalle réel fini, qui n'en est qu'une infime partie. Mais on peut établir une correspondance univoque et réciproque entre toutes les valeurs de l'intervalle (0, l) et tous les nombres réels positifs, au moyen de la formule suivante l :

tj :- : - — i , OU X =

Ouand x varie de 1 à 0, // varie depuis zéro jusqu'à l'infini positif, et i. Paul Tavnery, ap. lievue philosophique, art. cité.

inversement, chacune des deux variables passant une fois, et une seule, par chaque valeur intermédiaire. L'ensemble des nombres réels positifs est donc équivalent à l'intervalle (0, 1). On prouverait de même (et par la même formule) que l'ensemble des nombres réels négatifs est équivalent à l'intervalle ( — 1, 0), et par conséquent que l'ensemble total des nombres réels est équivalent à l'intervalle ( — 1,4- 1), lequel équivaut à n'importe quel intervalle fini. Il est donc démontré que l'ensemble complet de nombres réels a la même puissance qu'un intervalle fini quelconque, c'est-à-dire la seconde puissance.

Remarque. — Si l'on exclut l'infini (± <x> ) de cet ensemble, en ne considérant que l'ensemble (d'ailleurs continu) de tous les nombres réels finis, on devra exclure la valeur 0 de l'intervalle ( — 1, -f- i) parcouru par la variable x. Cet intervalle ne sera donc pas continu [Note II, 2].

20. Le théorème [16] peut s'énoncer maintenant comme suit : Si d'un ensemble de la seconde puissance on retranche un ensemble de la première puissance, l'ensemble restant est de la seconde puissance.

Pour résumer ce paragraphe [cf. 9, 12, 14, 17] on peut dire que l'ensemble des nombres rationnels et celui des nombres algébriques sont de la première puissance, et que l'ensemble des nombres irrationnels et celui des nombres transcendants sont de la seconde puissance.