II
21. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des ensembles linéaires, c'està-dire des ensembles de nombres réels inégaux, qu'on peut toujours ranger à la suite les uns des autres par ordre de grandeur (croissante ou décroissante), de sorte qu'ils ne forment qu'une seule file. Il n'en est plus de même pour les ensembles de nombres complexes en général, c'est-à-dire pour les ensembles dont chaque élément est un assemblage de 2, 3,... n nombres réels '.
Comme l'inégalité de ces sortes de nombres n'est pas définie [lro P., I, ni, 14], on ne peut les ranger par ordre de grandeur, de telle sorte que chacun soit, par exemple, plus grand que tous les précédents et plus petit que tous les suivants. Il convient à présent d'étudier ces ensembles, et de rechercher s'ils ne pourraient pas avoir une puissance supérieure à celles des ensembles linéaires. La considération de tels ensembles s'impose en Géométrie; mais, bien que les termes que nous allons définir conservent la trace de cette origine géométrique, on ne doit leur attacher, dans tout ce qui va suivre, qu'un sens purement arithmétique, indépendant de toute intuition.
22. Définilions. — On appelle point (arithmétique) l'ensemble de n nombres réels rangés dans un ordre déterminé :
(Xj, Xjj .... Xn)
(autrement dit, un nombre complexe à n unités capitales).
1. Cf. Note I : Sur la théorie générale des nombres complexes.
Ces n valeurs réelles s'appellent les coordonnées du point.
Le point est fixe si ses coordonnées sont des valeurs constantes; il est variable si Tune ou plusieurs de ses coordonnées varient. Il y a alors lieu de considérer l'ensemble (linéaire) des valeurs que prend chacune de ces coordonnées.
On appelle espace (arithmétique) à n dimensions l'ensemble des points (a?,, #„ .... xn), dont les coordonnées prennent toutes les valeurs réelles.
L'ensemble de tous les nombres réels est, par définition, l'espace à une dimension.
On appelle ensemble à n dimensions tout ensemble de points de l'espace à n dimensions.
Tout ensemble de nombres réels est, par suite, un ensemble à une dimension; c'est pourquoi on l'appelle linéaire. Chacun de ses éléments peut s'appeler un point.
Au lieu de concevoir un ensemble à n dimensions comme une collection de points fixes, on peut le concevoir comme l'ensemble des valeurs (ou des positions) que prend un seul point variable (ou mobile), dit point générateur. Dans ce cas, chacune de ses coordonnées doit être considérée comme un point variable prenant tour à tour toutes les valeurs d'un ensemble linéaire, dont elle est le point générateur.
Un ensemble à n dimensions peut être défini par les n ensembles linéaires engendrés par les coordonnées de son point générateur, si l'on donne en même temps les relations qui unissent les valeurs correspondantes des n coordonnées.
Un ensemble à n dimensions est dit continu, quand chacune des coordonnées du point générateur prend, indépendamment des autres, toutes les valeurs réelles d'un certain intervalle fini ; autrement dit, quand l'ensemble linéaire engendré par chaque coordonnée est lui-même continu.
L'espace à n dimensions est un ensemble illimité et continu.
23. Nous avons vu que les ensembles linéaires possèdent deux puissances différentes, et l'on démontre qu'ils ne peuvent avoir que celles-là. Nous allons montrer à présent que tout ensemble à n dimensions est équivalent à un ensemble linéaire (à une dimension).
Considérons d'abord les ensembles à n dimensions tels que chaque coordonnée du point générateur engendre un ensemble (linéaire) dénombrable (ou fini). On peut démontrer directement qu'un tel ensemble est dénombrable. Nous nous contenterons d'établir ce théorème par induction complète [v. 2e P., I, i, 4].
En général, pour chaque valeur d'une des coordonnées du point générateur, les autres coordonnées ne prennent pas toutes les valeurs des ensembles linéaires qu'elles engendrent respectivement, à cause des relations qui les unissent; si donc nous supposons que chaque coordonnée peut prendre, indépendamment des valeurs des autres coordonnées, toutes les valeurs de l'ensemble linéaire qu'elle engendre, nous ne pouvons qu'augmenter la puissance de l'ensemble à n dimensions.
D'autre part, l'ensemble linéaire des valeurs de chaque coordonnée peut, par hypothèse, être mis sous la forme d'une suite simplement infinie, ou
même finie. Si donc nous supposons tous ces ensembles infinis (mais toujours dénombrables), nous ne pouvons qu'augmenter la puissance de l'ensemble à n dimensions. Et si le théorème est vrai pour ce cas, le plus général et le plus étendu, il sera vrai a fortiori pour tous les autres cas que nous venons d'éliminer, afin de simplifier.
Considérons donc l'ensemble à n dimensions qu'on obtient en donnant séparément à chacune des n coordonnées du point générateur toutes les valeurs d'un ensemble dénombrable, c'est-à-dire d'une suite simplement infinie, telle que la suite des nombres entiers. On peut, sans changer la puissance de cet ensemble, substituer cette dernière suite à toutes les suites simplement infinies engendrées par les différentes coordonnées du point générateur.
24. Examinons d'abord le cas où n = 2. Soient x, y les deux coordonnées du point générateur. L'ensemble s'obtiendra en donnant séparément et successivement à x et à y toutes les valeurs entières positives
c'est-à-dire en faisant d'abord
* = 1, et y = 1,2, 3, 4
puis :
.r = 2, et y =1,2, 3, 4
puis :
x = 3, et !/ = 1,2, 3, 4
et ainsi de suite. On formera ainsi une suite à double entrée (ou doublement infinie), qu'on peut figurer sur un plan par un tableau carré à côtés indéfinis, tel que celui que nous avons construit plus haut [9J. Or nous avons démontré [ibid.] qu'une suite à double entrée est équivalente à une suite simplement infinie, et partant dénombrable. Le théorème est donc établi pour le cas où n = 2.
Passons au cas suivant, où n r=: 3.
Soient ar, y, z les 3 coordonnées du point générateur. L'ensemble s'obtiendra en donnant séparément et successivement & x, y et z toutes les valeurs entières positives 1, 2, 3, 4....
On formera ainsi une suite à triple entrée (ou triplement infinie) qu'on peut figurer dans l'espace par un casier cubique à arêtes indéfinies, dont chaque face sera semblable au tableau à double entrée du n° 9. Chaque arête (formant entrée) portera la suite naturelle des nombres entiers, que parcourt une des coordonnées. A tout point de l'ensemble correspondra une case, et à chaque case correspondra (en général) un point. L'ensemble peut donc être considéré comme une suite simplement infinie de suites doublement infinies. En effet, le casier peut être décomposé en tranches correspondant aux différents nombres inscrits sur une de ses arêtes : ces tranches formeront une suite simplement infinie, et chacune d'elles sera une table à double entrée semblable à celle du n° 9. Or nous savons qu'une suite à double entrée est équivalente à une suite à simple entrée : c'est-à-dfre qu'on peut ranger toutes les cases d'une de ces tranches en une suite simplement
infinie. L'ensemble sera ainsi transformé en une suite simplement infinie de suites simplement infinies, c'est-à-dire en une suite à double entrée, laquelle, on le sait, est équivalente à une suite simplement infinie. L'en* semble à trois dimensions considéré est donc dénombrable, C. Q. F. D.
Dans les cas suivants, où n> 3, l'ensemble forme une suite à multiple entrée qu'on ne peut plus figurer dans notre espace à trois dimensions. Mais cette représentation géométrique n'est qu'une image destinée à rendre la démonstration plus intuitive. Le raisonnement que nous venons de faire est au contraire absolument général : on peut toujours transformer un ensemble à n dimensions de l'espèce considérée en une suite simplement infinie- d'ensembles à (n — 1) dimensions; or, si le théorème est vrai pour les ensembles à (n — 1) dimensions, c'est-à-dire si ces ensembles sont équivalents à des suites simplement infinies, l'ensemble à n dimensions se réduira à une suite à double entrée, et par conséquent sera encore dénombrable. Le théorème est donc vrai pour un ensemble à n dimensions, quel que soit le nombre entier n.
25. H y a plus : on démontre qu'un ensemble d'un nombre infini de dimensions (une suite à une infinité d'entrées) est encore dénombrable, si l'ensemble linéaire des valeurs que prend chaque coordonnée du point générateur (valeurs inscrites sur chaque entrée) est dénombrable, et si l'ensemble des coordonnées elles-mêmes (des entrées) est aussi dénombrable. C'est ce qu'on peut exprimer brièvement comme suit : Une suite infiniment infinie équivaut à une suite simplement infinie.
Nous connaissons déjà un exemple de cette proposition, si paradoxale au premier abord : l'ensemble des nombres algébriques constitue en effet une suite à un nombre infini d'entrées : car chaque nombre algébrique correspond à l'ensemble des (n -h 2) nombres entiers :
floj au flt»".- «a et n;
et inversement, à cet ensemble déterminé correspond un nombre fini et déterminé de nombres algébriques (n au plus) ; mais comme n peut être pris aussi grand qu'on veut (c'est le degré de l'équation algébrique considérée), le nombre des coordonnées de l'ensemble des nombres algébriques dépasse tout nombre entier fini, si grand qu'il soit : il est donc simplement infini. Or on sait que cet ensemble est dénombrable [12].
Ainsi, en combinant un ensemble dénombrable d'ensembles linéaires dénombrables, on n'obtient jamais qu'un ensemble de la première puissance. Il est bien évident, d'autre part, que si l'ensemble des valeurs d'une des coordonnées du point générateur n'était pas dénombrable, l'ensemble engendré serait d'une puissance supérieure à la première, lors même que chacune des autres coordonnées ne prendrait qu'une seule valeur, ou resterait fixe. L'ensemble que nous venons de définir constitue donc le type le plus générât des ensembles dénombrables.
26. Considérons maintenant les ensembles continus à n dimensions, et cherchons quelle peut être leur puissance.
Le type le plus général de ces ensembles est l'espace à n dimensions. Or, de même que l'ensemble des nombres réels est équivalent à un inter-
valle fini et continu, tel que (0,1) [19], de même on prouve que l'espace à n dimensions est équivalent à l'ensemble continu qu'on obtient en faisant parcourir à chacune des coordonnées du point générateur un intervalle réel fini, tel que (0,1). On conçoit aisément qu'il en doive être ainsi, puisque l'ensemble linéaire de toutes les valeurs réelles que prend chaque coordonnée équivaut à un intervalle fini quelconque : en substituant celui-ci à celui-là, on ne change donc pas la puissance de l'ensemble considéré.
Pour illustrer cette proposition d'images géométriques, on peut dire que l'espace à deux dimensions, c'est-à-dire le plan indéfini (considéré comme l'ensemble de ses points) est équivalent à un carré quelconque de côté fini ; et que l'espace à trois dimensions tout entier est équivalent à un cube quelconque d'arête limitée. En particulier, on peut prendre pour côté de ce carré et pour arête de ce cube la droite de longueur 1, ce qui revient évidemment à prendre ce côté ou cette arête pour unité de longueur.
