On démontre d'autre part le théorème suivant
Soient xu xt,.... xH, n variables indépendantes dont chacune prend toutes les valeurs réelles de l'intervalle (0,1), et t une autre variable pouvant prendre les mêmes valeurs ; on peut établir une correspondance univoque et réciproque entre toutes les valeurs de t et tous les systèmes de valeurs attribuées à xt, #„.... xn-
En d'autres termes, l'ensemble à n dimensions des points (arithmétiques) dont toutes les coordonnées sont comprises entre 0 et 1 est équivalent à l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1, c'est-à-dire à Vintervalle (0, 1).
Pour parler géométriquement, nous dirons que le carré de côté 1 ou le cube d'arête 1 est équivalent au segment linéaire fini 1, c'est-à-dire à la droite limitée prise pour unité de longueur. Bien entendu, on considère toujours ce carré et ce cube comme des ensembles de points, et on ne les envisage qu'au point de vue de leur puissance.
28. Corollaires. — Tout ensemble continu à n dimensions [22] a la même puissance que le continu linéaire, c'est-à-dire la seconde puissance [18].
L'espace à n dimensions n'a que la seconde puissance, ainsi que l'espace à une dimension [22], et équivaut, comme celui-ci, à un intervalle fini et continu quelconque [19].
29. Il y a plus : un ensemble continu d'un nombre infini de dimensions est encore équivalent à un ensemble continu d'une seule dimension (pourvu que l'ensemble de ses dimensions soit dénombrable), et par conséquent n'a que la seconde puissance [cf. 25].
30. En résumé, il n'y a parmi les ensembles à n dimensions (n pouvant être simplement infini) que deux puissances distinctes, les mêmes que celles qu'on a trouvées dans les ensembles linéaires [18] : les suites infinies à n entrées ont la première puissance, comme les suites simplement infinies ; les ensembles continus à ?i dimensions ont la seconde puissance, comme les ensembles continus linéaires. On peut donc distribuer tous ces ensembles en deux classes : la première sera représentée par la suite naturelle des nombres entiers; la seconde pourra être représentée par l'intervalle réel (0,1).
