III

81. D'après ce qui précède, tout ensemble à n dimensions équivaut à un ensemble linéaire; l'étude des ensembles, considérés dans leur puissance, peut donc se ramener à celle des ensembles linéaires. D'autre part, tout ensemble linéaire peut se représenter géométriquement sur une ligne (droite) par un ensemble de points : c'est ainsi que nous avons appliqué l'ensemble des nombres réels à une droite indéfinie [1*° P., III, m] en faisant correspondre chaque point à un nombre et chaque nombre à un point. Nous nous bornerons, dans la suite, à considérer des ensembles linéaires, et spécialement des ensembles de nombres réels, et nous continuerons à employer le langage géométrique introduit dans le § II [22";. Tout ce que nous dirons des ensembles linéaires (de nombres ou de points) ne cessera pas de pouvoir s'appliquer aux ensembles arithmétiques ou géométriques d'un nombre quelconque de dimensions, même infini.

82. Définition. — On appelle point-limite d'un ensemble à n dimensions tout point de l'espace à n dimensions (où cet ensemble est contenu) dans le voisinage duquel se trouve un nombre infini de points appartenant à cet ensemble.

On appelle voisinage d'un point une sphère de rayon arbitraire ayant ce point pour centre, c'est-à-dire l'ensemble des points de l'espace à n dimensions dont la distance au point considéré est plus petite qu'une quantité donnée.

Théorème. — Si dans toute sphère décrite autour d'un point donné comme centre, avec un rayon aussi petit qu'on veut, il se trouve toujours au moins un point appartenant à l'ensemble considéré (en dehors du centre), le point donné est un point-limite de cet ensemble.

On peut donc dire qu'un point-limite de l'ensemble est un point dans le voisinage duquel se trouve toujours au moins un point de cet ensemble; en entendant par voisinage du point une sphère infiniment petite ayant ce point pour centre.

On remarquera l'équivalence de ces deux définitions du point-limite, malgré la diversité des critères énoncés : dans la première, le critérium est un nombre infini de points ; dans la seconde, il suffit d'un seul point. C'est que, dans la première, on ne considère qu'une sphère unique et finie ; dans la seconde, on suppose implicitement qu'il y en a une infinité, de rayons indéfiniment décroissants. Le critérium consiste donc toujours en une infinité donnée.

88. Définition. — On appelle ensemble borné tout ensemble de points dont chaque coordonnée est contenue dans un même intervalle fini.

En particulier, un ensemble linéaire est borné quand tous les nombres qui le composent (ou qui correspondent à ses points) sont contenus dans un intervalle réel fini, c'est-à-dire compris entre deux nombres réels finis.

Théorème de M. Weierstrass. — Tout ensemble borné composé d'un nombre infini de points a au moins un point-limite l.