VoirJ. Tannbry, op. cit., n

Ce théorème repose, on le voit, sur l'hypothèse d'une infinité donnée : sa démonstration est fondée sur V axiome suivant :

Si, un ensemble d'un nombre infini de points étant donné, on les distribue en un nombre fini d'ensembles partiels, il y a au moins un de ces ensembles partiels qui en contient un nombre infini.

Ce n'est pas ici le lieu de discuter la valeur de cet axiome; il montre en tout cas que les mathématiciens ne se font pas scrupule de raisonner sur un infini donné, et comment on peut raisonner sur cet infini.

34. Définition. — L'ensemble des points-limites d'un ensemble P est un ensemble bien défini qu'on appelle son (premier) dérivé, et qu'on désigne par F.

Remarque. — Un point-limite d'un ensemble n'est pas nécessairement un point de cet ensemble. Les ensembles jouissent de diverses propriétés suivant leurs relations avec leur dérivé. Mais pour définir ces relations, il convient d'introduire quelques expressions et notations d'un usage général.

35. Notations. — L'équivalence [3] de deux ensembles P et Q s'indique par l'écriture :

L'identité [4] de deux ensembles P et Q s'indique par l'écriture :

Si l'ensemble P fait partie de l'ensemble Q, on écrit l :

On sait que si l'on a à la fois

les deux ensembles sont identiques, ce qu'on écrit :

Définitions. — Si deux ensembles n'ont aucun point commun, ils sont dits sans connexion.

L'ensemble des points communs à tous les ensembles P1,P„P3,

s'appelle leur plus grand commun diviseur *, et s'indique par l'écriture :

2) (Pi, P*, P3, )

Un ensemble qui ne contient aucun point est dit nul, et se représente par 0.

Si un ensemble R devient nul par la suppression de tous ses points, on écrit :

Quand deux ensembles P et Q sont sans connexion, on exprime ce fait

i. Notation de M. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen, n° 3. 2. Cette locution se justifie par ce fait que M. Cantor appelle souvent diviseur d'un ensemble toute partie intégrante de cet ensemble.

en disant que leur plus grand commun diviseur est nul (c'est-à-dire n'existe pas), et en écrivant :

L'ensemble de tous les points qui appartiennent à l'un des ensembles P,,

P„ P3, s'appelle leur plus petit commun multiple1, et s'indique par

l'écriture :

M> (Pi, P„ P,,....)

Si un point est commun à plusieurs ensembles, il ne figure qu'une fois dans leur plus petit commun multiple.

Si aucun point n'est commun à deux ensembles, c'est-à-dire si les ensembles donnés sont deux à deux sans connexion, leur plus petit commun multiple s'appelle leur somme, et s'indique par l'écriture :

Cette expression se justifie par ce fait que cet ensemble est formé de la réunion des ensembles donnés, sans omission ni répétition de points, et qu'il peut se résoudre en ces ensembles par un simple partage, sans qu'il soit besoin de dédoubler aucun de ses points. On a évidemment dans tous les cas, par définition :

P* < JH» (Pi, P„ P,,....) (* = 1, 2, 3, )

et de même :

3 (P„ P„ P3,....)<Pk (*= 1,2, 3, >

Le fait qu'un ensemble P fait partie d'un ensemble Q

P<Q peut s'exprimer de deux manières :

36. Définitions. — On appelle point isolé tout point d'un ensemble qui n'est pas un point-limite de cet ensemble.

On appelle ensemble isolé un ensemble tel qu'aucun de ses points n'est un point-limite (c'est-à-dire dont tous les points sont isolés) ; cela revient à dire que cet ensemble P et son premier dérivé F sont sans connexion, ce qui s'écrit :

Remarque. — Tout ensemble qui n'a pas de dérivé (c'est-à-dire pas de point-limite) est évidemment isolé. La formule précédente convient encore à ce cas, car on a alors

On appelle ensemble condensé * un ensemble dont tous les points sont des

i. Cette locution se justifie par ce fait que M. Cantor appelle quelquefois multiple d'un ensemble un autre ensemble qui contient tous les points du premier (ou dont le premier fait partie).

2. Ensemble condensé en soi, ainsi que l'appelle M. Cantor, pour le distinguer de l'ensemble partout condensé dans un intervalle [voir ir< P., III, m, 4].

points-limites; cela revient à dire que cet ensemble fait partie de son dérivé, ce qui s'écrit :

On appelle ensemble fermé un ensemble tel que tous ses points-limites lui appartiennent; c'est-à-dire un ensemble qui contient son dérivé, ce qui s'écrit :

On appelle ensemble parfait un ensemble identique à son premier dérivé, ce qui s'écrit :

Un ensemble parfait est à la fois fermé et condensé; car cela suppose à la fois

ou encore

La réciproque est évidemment vraie, car du rapprochement de ces deux formules il ressort :

Un ensemble parfait a tous ses dérivés parfaits : car il est identique à tous ses dérivés.

Un ensemble fini n'a évidemment pas de point-limite, donc pas de dérivé. Nous ne nous occuperons désormais que des ensembles infinis.

37. Un ensemble F, dérive de P, peut avoir à son tour des pointslimites, et par suite un dérivé, qu'on appellera deuxième dérivé de P et qu'on désignera par F.

Théorème, — Tout ensemble dérivé est un ensemble fermé, c'est-à-dire contient son dérivé.

Réciproque. — Tout ensemble fermé peut être considéré comme le dérivé d'un autre ensemble.

Corollaires. — Si un ensemble dérivé est isolé, il n'a pas de dérivé ; autrement dit, son dérivé est nul.

Si un ensemble dérivé est condensé, il est parfait : car il est alors à la fois fermé et condensé.

38. Théorème. — Tout ensemble P donne naissance à un ensemble isolé, qui est :

En effet, pour rendre un ensemble isolé, il suffit d'y supprimer tous les points qui en sont des points-limites, c'est-à-dire tous les points qui lui sont communs avec son dérivé.

Théorème. — Tout ensemble P donne naissance à un ensemble fermé, qui est :

Jb (P, F).

En effet, tout point-limite de cet ensemble est, soit un point-limite de P,.

soit un point-limite de F; dans les deux cas, il est contenu dans F, et par conséquent dans M (P, F).

39. De même qu'un ensemble P engendre son premier dérivé F, et celuici le deuxième dérivé F", ce dernier peut à son tour engendrer un troisième dérivé P", et ainsi de suite. Deux cas peuvent alors se présenter : ou bien la suite des dérivations successives a une fin, à savoir quand on trouve un ne dérivé isolé, auquel cas le (n -+- 1)° dérivé est nul; ou bien Ton ne trouve jamais aucun dérivé nul, et alors la suite des dérivations est illimitée ou infinie comme la suite des nombres entiers, qui fournissent les numéros d'ordre des dérivés successifs. Dans le premier cas, l'ensemble P est dit du premier genre et de la n° espèce, à savoir quand on trouve

Pn+i = 0;

dans le second cas, l'ensemble est dit du second genre, ce qui veut dire qu'il engendre une suite infinie de dérivés

dont aucun n'est nul, si loin qu'on prolonge cette suite.

On démontre que tout ensemble du premier genre (en particulier tout ensemble isolé) a la première puissance. Mais parmi les ensembles du second genre, les uns n'ont que la première puissance, les autres ont une puissance supérieure. La considération des dérivés successifs, numérotés par la suite des nombres entiers finis, ne suffit donc pas a discerner, d'une manière générale et sûre, les diverses puissances des ensembles infinis. On est ainsi amené à définir, pour les ensembles du second genre, des dérivés d'ordre infini dont la considération est, au contraire, décisive dans l'étude de la puissance et des autres propriétés des ensembles infinis.

40. Considérons la suite infinie des dérivés successifs d'ordre fini d'un ensemble du second genre. Chacun de ces ensembles, étant fermé, contient tous les suivants, et aucun d'eux n'est nul; d'ailleurs, il n'y a pas parmi eux de dernier dérivé (par hypothèse). S'il y avait un dernier dérivé P* (comme dans le cas où l'ensemble donné P est du premier genre) il serait évidemment le plus grand commun diviseur de tous les dérivés non nuls :

F, P*, P*, Pn.

Concevons le plus grand commun diviseur de tous les dérivés successifs (en nombre infini)