F, F, P", PM

autrement dit, l'ensemble de tous les points communs à tous ces dérivés, c'est-à-dire, de tous les points de P' qui subsistent indéfiniment dans toutes les dérivations successives. On l'appelle dérivé d'ordre w, et l'on écrit :

Pw = 3) (F, F, P" Pn, )

Ce dérivé existe pour tous les ensembles du second genre : c'est un ensemble bien défini qu'on peut trouver directement dans beaucoup de cas; il est clair, d'ailleurs, qu'on ne pourrait le déterminer en effectuant la

suite indéfinie des dérivations, et en cherchant le résidu de cette opération. Or cet ensemble Pw peut lui-même avoir un dérivé, PM , un second dérivé, Pw , un troisième, Pw , et ainsi de suite, indéfiniment, à moins qu'on ne trouve un dérivé nul : Pw n (n étant un nombre entier fini). Si non, l'ensemble Pw engendrera, lui aussi, une suite illimitée de dérivés :

po> + 1 pu> + 2 po> + 3 po> + n

n prenant toutes les valeurs entières successives; en un mot, cette suite sera infinie comme celle des nombres entiers. Mais alors, si aucun des dérivés de cette suite indéfinie ne s'annule, tous ces dérivés auront un plus grand commun diviseur, que Ton désignera par

Pw+W ou P2w.

Celui-ci pourra engendrer à son tour une suite finie ou infinie de dérivés successifs

dont le plus grand commun diviseur sera, soit le dernier non nul (s'il y en a un), soit (au cas où cette dernière suite serait infinie) un nouvel ensemble

désigné par P . En continuant toujours de même, on formera une suite de dérivés :

pti> p2o> p3u> pftu>

(n étant un nombre entier fini quelconque), dont chacun est le premier d'une suite indéfinie de dérivés successifs

pno> pflto+i p7la>+2 pna>+fti

n{ étant un autre nombre entier quelconque ; et si aucun des dérivés de la forme Pnw W| ne s'annule, la suite des dérivés

po> p2o) p3b) pftfa)

sera indéfinie. Or tous ces ensembles auront, eux aussi, un plus grand commun diviseur, qu'on désignera par

Pww ou P*'.

En général, toutes les fois qu'on aura une suite simplement infinie de dérivés de la forme

prw, pn*), prw, p/»,

dont aucun n'est nul, n prenant toutes les valeurs entières consécutives, tous ces ensembles auront un plus grand commun diviseur, qu'on désignera par P A»).

Ainsi l'ensemble bien défini P" engendrera à son tour des suites infinies de dérivés, commençant chacune par

pu> "t"o> ptù +2o> pw +3w pw +nw

Le plus grand commun diviseur de tous ces ensembles sera un ensemble bien défini qu'on désignera par

Pw8+to>2 ou P2w*.

De même on formera les dérivés

p3 ci> ptt fa)

et si leur suite est infinie, ils auront un plus grand commun diviseur qu'on désignera par

pea.o)8 QU pu,3

En continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra une suite de dérivés :

pto pti) pli) pto)

et plus généralement, l'ensemble des dérivés de la forme

les nombres n, n^rij, n^-i, nm et m étant des entiers finis quelconques.

Mais si aucun de ses dérivés successifs ne s'annule, la suite des dérivés

pto pO) pu) ptû

sera infinie, et tous ces ensembles auront un plus grand commun diviseur

qu'on désignera par Pw .

Cet ensemble bien défini pourra engendrer à son tour des dérivés successifs, de sorte qu'on obtiendra successivement des dérivés de la forme

pto p2o) ptto,

puis :

cD+i w+2 oH-w

Pw , Pw , Pw

puis :

2(i) 3b> Ha>

Pw , Pw , Pw ,...

puis :

pm<\ p""3 , pu<\..

et enfin le plus grand commun diviseur de tous les précédents, qu'on désignera par

pw

Il est évident que si aucun de ces dérivés successifs ne s'annule, on pourra prolonger indéfiniment cette formation de dérivés d'ordre infini, sans jamais être arrêté.

Mais alors, l'ensemble de tous ces dérivés d'ordre infini consécutifs (et même des dérivés d'ordre fini qui les précèdent) aura un plus grand

commun diviseur, qui n'appartiendra pas à cet ensemble (puisque celui-ci

ne contient pas de dernier dérivé), et que Ton pourra désigner par P . Cet ensemble bien défini pourra engendrer à son tour un ensemble de dérivés d'un ordre infini plus élevé, et ainsi de suite indéfiniment.