IV

41. De même que la notion de nombre entier (ordinal et cardinal) s'obtient en faisant abstraction de la nature des objets nombres et de leur ordre, de même on peut définir et étudier en eux-mêmes les t symboles d'infini » qui

servent de numéros d'ordre aux dérivés Pw et suivants, et les considérer comme de nouveaux nombres entiers, infinis ou c transfmis ». On va donc séparer ces numéros d'ordre (nombres ordinaux infinis) des objets qui les portent, et inventer pour eux un mode de formation indépendant de la loi de génération des ensembles qui leur a donné naissance. Mais on ne devra jamais oublier que ces nombres transfinis ont un support réel dans les ensembles déterminés auxquels ils correspondent à titre d'indices; leur invention, et la généralisation qui en résulte pour l'idée de nombre entier, n'est donc pas une création arbitraire de l'esprit : elle se justifie par leur application à des objets concrets, et par son utilité, sa nécessité même, pour la théorie générale des ensembles1.

42. La formation des nombres transfinis abstraits repose sur trois principes distincts. On sait que l'on forme tous les nombres entiers finis en posant l'unité et en l'ajoutant successivement à elle-même un nombre indéfini de fois. Le premier principe de formation des nombres entiers consiste dans l'addition de l'unité au dernier nombre formé. C'est celui qui sert à engendrer la suite des nombres entiers finis, dite « suite naturelle des nombres », et il ne peut jamais donner lieu qu'à une suite semblable, linéaire et indéfinie.

L'ensemble des nombres entiers finis s'appellera la première classe de nombres entiers, ou plus brièvement la classe I. En vertu du premier principe de formation, il n'y a pas de dernier nombre dans la suite naturelle, ni par suite de nombre maximum (plus grand que tous les autres) dans la classe 1. Il n'y a donc pas non plus dans cette classe de nombre qui exprime la multitude des nombres de cette classe : car tout nombre de cette classe est fini, et exprime la multitude des nombres de la suite naturelle dont il est le dernier. Mais, aucun nombre n'étant le dernier dans la suite naturelle complète (infinie), aucun ne peut exprimer la multitude de tous les nombres entiers finis. On crée donc un nouveau nombre entier, w, pour représenter la totalité des nombres de la classe I, et pour exprimer que la suite naturelle des nombres est donnée tout entière suivant sa loi de formation. C'est dans cette création que consiste le second principe de formation.

1. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, § 4. Cf. : Compte-rendu par J. Tannery, ap. Bulletin des Sciences mathématiques, 1884.

En général, toutes les fois qu'on aura une suite infinie d'éléments, semblable à la suite naturelle des nombres finis, on créera, en vertu de ce second principe, un nouveau nombre destiné à exprimer que cette suite est constituée tout entière, au moyen du premier principe de formation ; et Ton convient- de représenter ce nombre en remplaçant, dans l'élément général w» de cette suite (n étant un nombre entier fini quelconque), l'indice n par l'indice u>.

43. Ce nouveau nombre w est considéré comme entier, bien qu'il ne puisse pas être construit par addition d'unités, parce qu'il représente une collection d'objets distincts (les nombres entiers finis) dont chacun constitue une unité. Telle est sa signification comme nombre cardinal. Comme nombre ordinal, il est, non pas le dernier de tous les nombres finis, mais le premier après eux, c'est-à-dire le premier des nombres infinis. Il sera dit, par suite, supérieur à tous les nombres entiers finis, et conçu, non pas comme leur maximum (puisqu'il n'y en a pas), mais comme leur limite supérieure [Note II, 12], vers laquelle ils tendent sans l'atteindre jamais.

44. Une fois le nombre <o posé en vertu du second principe, on peut lui appliquer le premier principe de formation, c'est-à-dire lui ajouter l'unité autant de fois qu'on veut; on obtient ainsi la suite indéfinie des nombres entiers infinis :

où n prend successivement toutes les valeurs entières finies. En vertu du second principe, cette suite donne naissance à un nouveau nombre :

Celui-ci engendre à son tour, en vertu du premier principe, la suite indéfinie :

qui donne naissance, en vertu du second principe, à un nouveau nombre :

et ainsi de suite. On obtient ainsi une suite infinie de suites infinies, dont chacune commence par un des nombres :

(o, 2(o, 3u>, Mw,

Or cette suite elle-même, en vertu du second principe, donne lieu à la création d'un nouveau nombre :

supérieur à tous les nombres de la forme

ritù -h ii|,

et qui engendrera une nouvelle suite de nombres infinis. On arrivera de môme à créer un nouveau nombre :

supérieur à tous les nombres de la forme

nu* -h n,w 4- nt.

En continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra tous les nombres de la forme :

nu> -h n,u> h- naw -+- 4- n^^w -+- nm

où n, rij, nf, nm i, nm et m sont des nombres finis (de la classe I.) Mais,

en vertu du second principe, la suite indéfinie des nombres

o), w*, oi3, com,,

où m prend toutes les valeurs entières finies, donne lieu à la création d'un nouveau nombre infini :

or ,

qui sera supérieur à tous les nombres déjà obtenus.

Ce nombre sera le point de départ d'un autre ensemble de nombres infinis, semblable au précédent : on les formera en ajoutant successivement à ww les nombres entiers

b>, 2a>, Mu),

ss n

On arrivera ainsi, en vertu du second principe, à un nombre

ww ^ wto g ww

supérieur à tous les précédents; on formera donc la suite

«w, 2a>w, na>w,

qui donne lieu à la création du nombre w.w*0 =uw+1; puis la suite :

(0CO+1, lO***"2, «" + ",

puis :

^2(0 ,.J$tù ,.vH<»>

ensuite :