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et Ton sera ainsi amené à créer le nombre o>w , supérieur à tous les nombres antérieurement formés. On pourra prolonger indéfiniment cette création de nombres entiers infinis, au moyen des deux principes de formation énoncés ci-dessus.

45. L'ensemble des nombres infinis ainsi formés (à partir de o>) s'appellera la deuxième classe de nombres entiers, ou plus brièvement la classe II. Il semble qu'on ne puisse concevoir ni former d'autres nombres infinis que ceux de cette classe et supérieurs à eux, et en effet, les deux premiers principes ne permettent pas de sortir de cette classe et de s'élever à un ordre d'infini supérieur. Mais alors intervient un troisième principe de foi%mation, grâce auquel on dépasse la deuxième classe de nombres, comme, par le second principe, on a pu dépasser la première classe. Ce troisième principe a d'ailleurs été déjà invoqué tacitement lors du passage de la première classe à la deuxième, mais son importance et sa valeur apparaissent surtout quand il s'agit de passer de la seconde classe à une troisième, à une

quatrième, etc. De même que dans la classe 1 tous les nombres sont finis, et que néanmoins leur ensemble est infini *, de sorte que si chaque nombre entier fini suffit à dénombrer la suite naturelle, supposée terminée à ce nombre, aucun nombre fini ne peut représenter la suite tout entière, c'est-àdire infinie, et qu'on est obligé pour cela de créer un nouveau nombre en quelque sorte < transcendant » ; de même, si Ton s'arrête à un nombre quelconque de la deuxième classe et que Ton suppose cette classe terminée à ce nombre, l'ensemble des nombres finis et transfinis ainsi obtenus n'a jamais que la première puissance, à savoir celle de la première classe de nombres. Cette vérité paradoxale paraîtra moins surprenante, si l'on se rappelle qu'une suite infiniment infinie de nombres n'a que la puissance d'une suite simplement infinie, c'est-à-dire la première [25]. Or c'est une suite de ce genre que forme la classe II tant qu'elle n'est pas achevée. Ce fait si remarquable, à savoir que tout nombre de la classe II n'a avant lui qu'un ensemble de nombres de la même puissance que la classe I, constitue, si on le regarde comme une condition qui caractérise la deuxième classe et en circonscrit l'étendue, un principe d'arrêt ou de limitation : il marque en effet où s'arrête la puissance de prolification des deux premiers principes, et limite la portée et le développement (d'ailleurs interminable) de l'ensemble des nombres issus du nombre w. On peut définir la deuxième classe de nombres : c l'ensemble de tous les nombres a qu'on peut former à l'aide des deux principes de formation, qui se suivent dans un ordre déterminé, et qui sont soumis à cette condition, que tous les nombres qui précèdent a, à partir de 1, forment un ensemble de la puissance de la classe I. * »

46. Le principe de limitation fournit, ou plutôt révèle l'occasion d'employer le second principe de formation; il rend utile, et même nécessaire, la création d'un nouveau nombre entier infini û qui représentera la multitude des nombres de la classe II (en y joignant, si l'on veut, la classe I), et exprimera que cet ensemble est donné dans sa totalité en vertu des deux premiers principes. Ce nombre viendra, dans la succession naturelle des nombres infinis, immédiatement après tous les nombres de la classe II; il sera donc conçu comme supérieur à tous les nombres a, et constituera pour l'ensemble des nombres des deux premières classes une limite supérieure « transcendante » (et non « immanente », comme serait un nombre maximum de la classe 11).

47. Ce nombre O une fois posé sera à son tour le point de départ d'un nouvel ensemble de nombres que l'on construira en appliquant exclusivement les deux principes de formation, et qui s'appellera la troisième classe de nombres entiers, ou simplement la classe III. On formera les nouveaux nombres infinis en ajoutant d'abord à Q tous les nombres finis (de la classe I), puis tous les nombres de la classe II; quand ces deux classes seront épuisées, on créera le nombre û + Û = 2û, qui engendrera une

1. M. Canton cite à ce propos une belle formule de Saint Augustin : • El singuli quique finiti sunt, et omnes inlinili sunt. » (De Civitate Dei, XII, 19.)