Stolz, Arithmétique générale, vol. II, ch. i
et Ton ne considère en général que l'inégalité de leurs valeurs absolues.
D'ailleurs, la définition de l'inégalité des nombres qualifiés est déjà passablement arbitraire et factice, car on n'en tient presque aucun compte dans l'Analyse. En effet, bien que tout nombre négatif soit plus petit que zéro, et d'autant plus petit que sa valeur absolue est plus grande, on n'entend jamais par infiniment petits des nombres négatifs très grands en valeur absolue, mais des nombres qualifiés très petits en valeur absolue, c'est-à-dire infiniment voisins de zéro. Gela prouve bien que la considération de la grandeur absolue des nombres réels l'emporte sur la définition plus ou moins conventionnelle de leur inégalité.
15. 11 convient de présenter ici certaines observations qui naissent de la considération des divers ensembles de nombres que nous avons successivement définis. Nous avons montré comment les nombres réels, qui sont d'abord les éléments constituants des nombres imaginaires, finissent par se confondre avec certains d'entre eux; de même que les nombres arithmétiques, qui sont les éléments des couples algébriques, se confondent avec les nombres positifs; et de même que les nombres entiers, qui sont les éléments des nombres fractionnaires, se confondent avec certaines fractions. Nous avons vu que cette triple identification est naturelle et légitime, mais qu'elle est toujours arbitraire, et qu'elle donne lieu dans certains cas à des confusions fâcheuses. Néanmoins, elle est commode, en ce qu'elle fait rentrer les uns dans les autres des ensembles primitivement séparés et superposés, de sorte que l'ensemble des nombres complexes finit par englober tous les autres à titre d'ensembles particuliers. Il est ainsi le plus riche, et Ton peut dire, sans paradoxe ni jeu de mots, le plus « réel » de tous. Mais si cette assimilation progressive est possible et utile, c'est grâce à l'analogie des opérations fondamentales définies pour ces divers ensembles, qui permet de regarder les opérations sur les ensembles inférieurs comme des cas particuliers des opérations analogues sur les ensembles supérieurs. Non seulement les opérations sur les nombres entiers se conservent, avec leurs propriétés essentielles, dans les ensembles suivants, mais elles s'affranchissent tour à tour, nous venons de le voir, des restrictions auxquelles elles étaient d'abord soumises. C'est ainsi que le calcul des imaginaires peut être considéré comme la généralisation naturelle de l'Arithmétique élémen-
taire, et l'ensemble des nombres complexes lui-même comme une extension nécessaire de l'ensemble des nombres entiers.
16. D'autre part, si l'on jette un coup d'œil sur les trois nouveaux ensembles, on remarquera que ce qui les distingue les uns des «autres, ce n'est pas la forme particulière des symboles employés, mais les définitions fondamentales de l'égalité, de l'addition et de la multiplication de ces symboles. Par exemple, les nombres imaginaires ont la même formule d'addition que les couples, et leur formule de multiplication ne diffère de celle des couples que par le signe de bb'\ mais ce qui sépare profondément ces deux espèces de nombres, c'est la définition de l'égalité. Nous avons à dessein donné la même forme (a, b) h tous ces nouveaux nombres que nous avons introduits, pour mieux faire ressortir à la fois l'analogie et la différence des opérations auxquelles ils sont soumis, et pour tnontrer qu'ils ne se distinguent que par les formules des combinaisons qu'on peut effectuer sur eux. Cette remarque est d'ailleurs générale. Le mathématicien ne définit jamais les grandeurs en ellesmêmes, comme le philosophe serait tenté de le faire; il définit leur égalité, leur somme et leur produit, et ces définitions déterminent ou plutôt constituent toutes les propriétés mathématiques des grandeurs. D'une façon plus abstraite et plus formelle encore, il pose des symboles, et pose en même temps les règles suivant lesquelles il devra les combiner ensemble; ces règles suffisent à caractériser ces symboles et à leur donner une valeur mathématique. En un mot il crée des êtres mathématiques au moyen de conventions arbitraires; de même que les différentes pièces du jeu d'échecs sont définies par les conventions qui règlent leur marche et leurs relations.
17. Ces considérations, par lesquelles nous essayons de définir l'esprit de la Mathématique moderne, suggèrent naturellement la question suivante : Si la science n'est qu'un jeu de symboles créés arbitrairement et de toutes pièces, pourquoi l'ensemble des nombres complexes resterait-il le dernier, et pourquoi ne rentrerait-il pas à son tour dans un ensemble plus vaste? Y a-t-il une raison pour s'arrêter dans l'invention de ces ensembles de plus en plus généraux, ou peut-on en créer indéfiniment de nouveaux?
Rien n'empêche, assurément, les mathématiciens de concevoir d'autres symboles et de construire d'autres ensembles; mais si, théoriquement, la fécondité de l'imagination mathématique ne connait pas de bornes, l'introduction de nombres nouveaux est
subordonnée, en fait, à l'usage qu'on en peut faire. Sans doute, il est toujours possible de créer de nouveaux symboles et d'inventer de nouvelles combinaisons : mais ces créations, arbitraires en principe, ne se justifient que par leur utilité, toute spéculative d'ailleurs. Il ne suffit donc pas de poser a priori certains signes et de les combiner suivant certaines règles conventionnelles : il faut encore qu'ils trouvent dans la science leur emploi et leur application. C'est à définir cette utilité des symboles mathématiques que sont destinés les deux Livres suivants.
18. La question posée ci-dessus nous fournit justement l'occasion d'indiquer à quelles conditions l'introduction de nouveaux nombres dans l'Arithmétique générale pourrait être utile. Pour généraliser l'ensemble des nombres imaginaires et le faire rentrer dans un ensemble plus vaste, on peut employer deux méthodes. Ou bien l'on définira autrement les opérations fondamentales, de manière à obtenir d'autres ensembles de nombres complexes à deux termes; ou bien l'on augmentera le nombre des éléments constitutifs de chaque symbole, de sorte qu'on obtiendra des ensembles de nombres complexes à plus de deux termes. D'autre part, pour qu'une telle généralisation soit vraiment utile, il faut que les opérations fondamentales de l'Arithmétique conservent dans le nouvel ensemble leurs propriétés essentielles, comme elles les ont conservées dans tous les ensembles antérieurs, afin qu'elles puissent coïncider, dans certains cas, avec les opérations sur les nombres réels, et qu'on puisse, par suite, faire rentrer ceux-ci dans le nouvel ensemble en les identifiant h certains nombres complexes.
La question se dédouble donc, et se précise en même temps comme suit : Y a-t-il d'autres systèmes de nombres complexes à deux termes, et : Y a-t-il des systèmes de nombres complexes à plus de deux termes, auxquels puissent s'appliquer les règles du calcul des nombres réels?
Des travaux récents nous permettent de répondre négativement à ces deux questions !. En voici les résultats essentiels :
i ° Parmi tous les ensembles possibles de nombres complexes à deux termes, le seul qui possède toutes les propriétés opératoires des nombres réels est le système des nombres complexes ordinaires, vulgairement appelés : imaginaires.
1. Voir la Note I : Sur la théorie générale des nombres complexes.
2° Tous les ensembles de nombres complexes à plus de deux termes qui vérifient les propriétés essentielles du calcul des nombres réels peuvent se décomposer en ensembles analogues à l'ensemble des nombres réels et à celui des nombres imaginaires, et équivalent par conséquent à des combinaisons de ces deux ensembles déjà connus.
La conclusion qui ressort de ces intéressantes recherches, c'est que, si Ton s'astreint à conserver les propriétés essentielles des opérations arithmétiques \ il est inutile, sinon impossible, de chercher une nouvelle extension pour l'Arithmétique générale, et que, par suite, le nombre imaginaire est le dernier stade de la généralisation progressive de l'idée de nombre.
]. Principe de la permanence des formes opératoires, formulé par Hakkkl : Vorlesungen ûber complexe Zahlen.
