G. Cantor, Grundlagen

seconde série de nombres semblable à la classe H ; puis les nombres 3Q,

4Q, nQ, et enfin : coQ; et ainsi de suite. On constituera ainsi un

ensemble de nombres infiniment plus infini que la classe II ; néanmoins, en vertu du principe de limitation, on aura beau le prolonger indéfiniment au moyen des deux principes de formation, on n'obtiendra jamais, si loin qu'on s'arrête dans la succession indéfinie des nombres, qu'un ensemble de la même puissance que la classe II. Ce fait conduit à concevoir un nouveau nombre infini d'un ordre supérieur, qui exprimera la multitude des nombres de la classe III considérée comme donnée dans sa totalité, et qui sera le premier des nombres de la classe IV.

Ainsi le principe de limitation donne le moyen de dépasser successivement tous les ensembles engendrés par l'application des deux principes de formation à un nombre fondamental w, U, etc., et de créer de nouveaux nombres fondamentaux qui donnent naissance à des ensembles supérieurs. Grâce à ce principe, la succession illimitée des nombres entiers translinis se trouve découpée en classes distinctes et fermées qui correspondent aux divers ordres d'infini.

48. Le même principe permet encore de définir avec précision toutes les puissances successives dont les ensembles infinis sont susceptibles, et de les ranger par ordre de grandeur croissante. La première puissance infinie est évidemment celle de la classe I, car, tant qu'elle n'est pas complète, elle ne forme qu'un ensemble fini, qui correspond à un nombre fini (le dernier). Or, de même que la suite naturelle des nombres, finie tant qu'on la termine à l'un quelconque de ses éléments, est infinie dans sa totalité, de même, si l'ensemble des nombres transfinis de la classe IL terminé par l'un d'eux, n'a jamais que la première puissance (celle de la classe I tout entière), ce même ensemble, pris dans sa totalité, a une puissance supérieure à la première '. Cette proposition se démontre à l'aide du théorème suivant : t Tout ensemble de la première puissance, formé de nombres de la classe II, a une limite supérieure, qui est un nombre de la même classe ». D'où il résulte que tout ensemble (de la première puissance) de nombres pris dans la classe II laisse échapper une infinité de nombres de cette classe, à savoir tous ceux qui viennent après sa limite supérieure (puisqu'elle fait partie de cette classe). On en conclut que la classe II, supposée complète, ne peut pas être un ensemble de la première puissance, car elle devrait contenir sa limite supérieure, et ne renfermerait pas tous les nombres qui lui appartiennent, ce qui est contradictoire *. Elle a donc une puissance supérieure à la première, c'est-à-dire à celle de la classe I.

49. On démontre en outre que la puissance de la classe II est immèdia-