G. Castor, Grundlagen
2. 11 faut bien remarquer que ce fait, que la classe II ne contient pas de limite supérieure (non plus que la classe 1, d'ailleurs) ne contredit nullement la définition du nombre U (ou w) comme limite supérieure de la classe 11 (ou de la classe I). Au contraire, c'est justement parce qu'aucun des nombres de la classe H (ou I) n'en est la limite supérieure, qu'il est légitime et naturel de créer un nouveau nombre U (ou w) extérieur à cette classe, et qui en sera la limite supérieure.
tement supérieure à celle de la classe I, de sorte qu'elle doit être regardée comme la deuxième puissance infinie, attendu qu'il est impossible d'en concevoir une autre intermédiaire entre celles-là l. Cela résulte du théorème que voici : < Tout ensemble de nombres de la classe H, ou bien est fini, ou bien a soit la puissance de la classe I, soit la puissance de la classe II. » On ne peut donc concevoir aucun ensemble qui ait une puissance supérieure à la première et inférieure à la deuxième. De même, la troisième puissance infinie sera celle de la classe III, et ainsi de suite.
La création des classes successives de nombres transfinis fournit ainsi un substratum concret et un critérium exact pour toutes les puissances consécutives; chacune d'elles est représentée par la classe de nombres entiers qui lui correspond, de même que la première puissance avait depuis longtemps trouvé son exemplaire ou son prototype dans la suite naturelle des nombres finis.
50. Mais l'invention des nombres [infinis ne sert pas seulement à développer et à préciser la notion de puissance, qui, comme on Ta vu [7], est une généralisation de l'idée de nombre cardinal ; elle a pour effet de généraliser en même temps l'idée de nombre ordinal, car, ainsi qu'il a été dit [41], les nombres entiers infinis ont à l'origine le sens de numéros d'ordre infini; c'est à ce titre qu'ils se sont introduits et imposés dans la théorie des ensembles : ce sont, à proprement parler, des nombres ordinaux transfinis. Mais avant de définir ceux-ci, il convient d'introduire une notion très importante dans cette théorie, celle de l'ensemble bien ordonné.
51. On appelle ensemble bien ordonné tout ensemble bien défini dont les éléments se succèdent dans un ordre déterminé, de telle sorte qu'il y ait un premier élément, qu'à chaque élément (sauf le dernier, s'il y en a un) en succède un autre déterminé, et qu'à chaque ensemble fini ou infini d'éléments corresponde un élément déterminé qui soit le premier après eux tous (à moins qu'il n'y en ait aucun après eux dans la suite) *.
L'ensemble bien ordonné ainsi défini est d'ailleurs un cas particulier de l'ensemble ordonné à n dimensions, dont nous omettons ici la définition, en nous bornant à l'étude des ensembles linéaires (à une dimension) 3. Tout ensemble bien défini peut être aussi bien ordonné.
52. Deux ensembles ordonnés (bien ordonnés) sont dits semblables, quand on peut établir entre eux une correspondance univoque et réciproque telle que le rapport d'ordre de deux éléments quelconques de l'un soit le même que le rapport d'ordre des deux éléments correspondants de l'autre.
