î. Castor, Grundlagen

3. Voir Castor, Mitleilungen zur Lehre vom Transfiniten, ap. Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik, t. XCII.

Le rapport d'ordre de deux éléments a, b d'un ensemble bien ordonné consiste dans ce fait que a vient avant ou après b (ou encore au même rang que 6) dans Tordre déterminé que Ton considère. On dit, suivant ces trois cas, que le rang de a est respectivement supérieur, inférieur ou égal à celui de 6 dans la succession linéaire des éléments de l'ensemble. Le rapport d'ordre de deux éléments uu ft, qui correspondent respectivement à a et à 6 est dit le même que le rapport d'ordre de a et 6, si le rang de a, est supérieur, égal ou inférieur à celui de 6, suivant que le rang de a est supérieur, égal ou inférieur à celui de b.

53. Le nombre ordinal d1 un ensemble bien ordonné est un cas particulier du type d'ordre d'un ensemble ordonné à n dimensions. M. Gantor appelle ainsi l'idée qu'on obtient lorsqu'en pensant un ensemble (bien) ordonné, on fait abstraction de la nature intrinsèque de ses éléments et de toutes leurs différences et qualités propres; le « paradigme idéal » ainsi conçu, où les éléments, réduits à l'état d'unités abstraites indiscernables entre elles, ont seulement gardé leurs rapports d'ordre, constitue le type d'ordre ou le nombre ordinal de l'ensemble. Les nombres ordinaux sont les types d'ordre linéaire, c'est-à-dire les types d'ordre des ensembles ordonnés à une dimension.

54. Si, en pensant le même ensemble (bien ordonné), on fait en outre abstraction de l'ordre de succession de ses éléments, ou encore si, en pensant un ensemble bien défini, mais non ordonné, on fait seulement abstraction de la nature de ses éléments, on obtient un nombre cardinal, c'està-dire un ensemble d'unités abstraites, distinctes, mais sans ordre, qui est équivalent à l'ensemble considéré, puisque chacune de ses unités correspond à un élément de l'ensemble donné.

En vertu de cette définition, le nombre cardinal est indépendant de l'ordre assigné aux éléments de l'ensemble, puisqu'il existe alors même qu'il n'y a aucun ordre. 11 représente uniquement leur multitude; il répond à la question : « Combien sont-ils? »

Au contraire, par sa définition même, le nombre ordinal doit dépendre, en général, de l'ordre dans lequel les éléments de l'ensemble sont distribués, puisqu'il représente non seulement leur multitude, mais aussi leurs rapports d'ordre.

55. Un nombre ordinal (ou plus généralement un type d'ordre) étant une espèce d'ensemble (bien) ordonné, donne naissance, lui aussi, à un nombre cardinal déterminé. On peut dire qu'il a le même nombre cardinal que tous les ensembles bien ordonnés qui ont ce nombre ordinal lui-même.

Le nombre cardinal pouvant être considéré comme issu du nombre ordinal par une nouvelle abstraction, Ton conçoit aisément que plusieurs nombres ordinaux différents puissent avoir le même nombre cardinal, de même que plusieurs ensembles (bien) ordonnés différents peuvent avoir le même nombre ordinal (ou le même type d'ordre). Ainsi un seul nombre cardinal doit, en général, correspondre à plusieurs nombres ordinaux (a fortiori à plusieurs types d'ordre différents).

M. Cantor représente le nombre ordinal d'un ensemble M bien ordonné

par M, et son nombre cardinal par M* Les traits qui surmontent la lettre qui représente l'ensemble concret rappellent les deux degrés d'abstraction qui donnent lieu, successivement, au nombre ordinal et au nombre cardinal. Si n désigne un nombre ordinal, n désignera le nombre cardinal correspondant.

11 convient de remarquer que le nombre ordinal de M. Gantor n'est point ce qu'on entend d'ordinaire par ce mot, à savoir le numéro d'ordre qui indique le rang d'un élément particulier dans un ensemble bien ordonné. Il faut bien distinguer ces deux notions et se garder de les confondre : le numéro d'ordre ne s'applique qu'à un seul élément, de sorte que tous les éléments d'un ensemble bien ordonné, ayant des rangs distincts, ont des numéros d'ordre différents; tandis que le nombre ordinal s'applique, comme le nombre cardinal, à l'ensemble tout entier, et le représente avec un caractère de plus.

56. Par définition, le nombre ordinal ou type d'ordre d'un ensemble est un ensemble semblable à cet ensemble.

Deux ensembles semblables à un même troisième sont semblables entre eux.

Corollaire. — Deux ensembles qui ont le même nombre ordinal sont semblables, car ils sont semblables à ce nombre ordinal.

Réciproquement, deux ensembles semblables ont le même nombre ordinal.

Ainsi le nombre ordinal est le concept général commun à tous les ensembles bien ordonnés semblables à un ensemble donné, et par suite semblables entre eux.

Si, pour exprimer que deux ensembles bien ordonnés M, N sont semblables, on écrit

cette formule équivaut exactement à celle-ci :

qui exprime l'identité des nombres ordinaux correspondants.

Deux ensembles qui ont le même nombre cardinal sont équivalents [3).

Réciproquement, deux ensembles équivalents ont le même nombre cardinal. Le nombre cardinal est donc le concept général commun à tous les ensembles bien définis équivalents à un ensemble donné, et par suite équivalents entre eux. Ainsi la formule

M = N, qui exprime l'équivalence de deux ensembles [35J, revient à celle-ci

qui exprime l'identité de leurs nombres cardinaux.

On voit que la notion de nombre cardinal coïncide exactement avec la notion de puissance [2]. On appelle plus spécialement puissances les nombres cardinaux infinis (c'est à-dire ceux des ensembles infinis).

Pour que deux ensembles soient semblables, il faut, par définition, qu'ils soient (bien) ordonnés.

Pour que deux ensembles soient équivalents, il faut seulement qu'ils soient bien définis.

Deux ensembles semblables sont évidemment équivalents.

Deux ensembles équivalents et bien ordonnés ne sont pas nécessairement semblables ; mais, par définition, ils peuvent toujours être rendus semblables en changeant Tordre de leurs éléments.

57. Ces principes étant établis, on peut déterminer et désigner, au moyen des nombres entiers transfinis, le nombre ordinal d'un ensemble infini (qu'on appelle son nombre, tout court, par opposition à sa puissance, qui est un nombre cardinal).

Soit donné un ensemble infini et bien ordonné. Dans la suite continue et illimitée des nombres finis et infinis qui se succèdent sans interruption dans un ordre linéaire bien déterminé, il y en a toujours un, et un seul, a, tel que tous les nombres qui le précèdent, à partir de 1, forment un ensemble bien ordonné semblable à l'ensemble donné. Ce nombre a, qui suffit à définir sans ambiguïté cet ensemble de nombres commençant au nombre 1, s'appelle le nombre1 de l'ensemble donné, eu égard à son ordre de succession.

On détermine de la même manière le nombre d'un ensemble fini bien ordonné. L'opération qu'on nomme dénombrement consiste, en effet, à ranger une collection d'objets donnés suivant un ordre linéaire déterminé, et à leur faire correspondre, un par un, les nombres entiers consécutifs en commençant par 1. L'ensemble des nombres ainsi appliqués aux objets successifs est évidemment semblable à l'ensemble bien ordonné que forment ces objets; or il est complètement déterminé par le dernier des nombres employés, soit n. C'est ce nombre n que l'on prend pour représenter le nombre des objets donnés, et non le nombre n -h 1, comme on devrait le faire conformément à la règle qu'on vient d'énoncer. Il est aisé de voir pour quelle raison la définition du nombre d'un ensemble infini diffère en ce point de celle du nombre d'un ensemble fini. Comme un ensemble infini bien ordonné ne contient pas, en général, de dernier élément, on ne peut prendre pour nombre de cet ensemble le dernier des nombres employés; on convient donc de prendre pour tel le premier des nombres qui suivent tous les nombres employés, car il existe toujours un tel nombre dans la suite des nombres infinis (voir la définition de l'ensemble bien ordonné [51]).

En particulier, le nombre o>, qui vient immédiatement après tous les nombres entiers finis, est le nombre de la classe I, et de toute suite simplement infinie semblable à la suite naturelle des nombres entiers, telle que

«n <h, «ai <*>»>

Si l'on fait passer le premier terme de cette suite après tous les autres, l'ensemble bien ordonné ainsi obtenu

«ti (ht ? fl»> ai

i. Anzahl, non ZahL Ces deux mots servent à distinguer les deux sens du nombre : Zahl désigne le nombre pur; Anzahl, le nombre appliqué.

a le nombre w + 1. De même, l'ensemble bien ordonné

flj, «n, at, at

a le nombre w -f- 2; et l'ensemble bien ordonné

On+i, an+i, «f, Oj, Û3» a*

a le nombre o> -+- n. Si Ton dédouble la même suite, en faisant passer tous les termes d'indice pair, dans leur ordre, après tous les termes d'indice impair, on forme deux suites simplement infinies mises bout à bout, et l'ensemble bien ordonné ainsi composé

a,, a3,.... tfin-l, û4î «4, tfîn,

a le nombre 2W. Enfin, si Ton range la suite des nombres entiers, ou toute suite simplement infinie semblable à celle-là, dans un tableau à double entrée comme celui du n° 9 [§ I], on la transforme en une suite doublement infinie, et si l'on suppose les lignes successives mises bout à bout dans leur ordre, l'ensemble bien ordonné ainsi obtenu aura pour nombre eu*.

Ces exemples suffisent à faire voir qu'on peut, en rangeant les éléments d'un ensemble de la première puissance dans un ordre convenable, en former un ensemble bien ordonné qui ait pour nombre (ordinal) un nombre quelconque de la deuxième classe, qu'on peut assigner d'avance.

58. Il reste à montrer comment on peut déterminer le nombre cardinal (puissance) d'un ensemble bien défini, en le transformant en un ensemble bien ordonné (ce qui est toujours possible [51]) et en lui appliquant la suite des nombres entiers consécutifs, tant finis qu'infinis. Comme on vient de le dire, cette opération détermine le nombre ordinal de l'ensemble considéré. Or, quand on connaît le nombre ordinal d'un ensemble, on connaît en même temps son nombre cardinal, qui est celui de ce nombre ordinal [65]. Le nombre cardinal d'un nombre ordinal est celui de l'ensemble des nombres qui le précèdent dans la suite régulière et illimitée des nombres, à partir de 1 (en y comprenant ce nombre lui-même, si l'ensemble est fini). Or l'ensemble de tous les nombres, tant finis qu'infinis, qui précèdent un nombre donné quelconque de la m° classe a toujours, comme on sait (en vertu du principe de limitation), la puissance de la classe précédente, c'est-à-dire la (m — i)° puissance. (On supposer?! ^ 2, car pour m — i l'ensemble est fini.) Il en résulte que chaque nombre (ordinal) de la classe II a la première puissance, que chaque nombre de la classe III a la deuxième puissance; et ainsi de suite. Par conséquent, tous les ensembles dont les nombres ordinaux font partie de la deuxième classe ont pour nombre cardinal la première puissance; lous ceux dont les nombres ordinaux appartiennent à la troisième classe ont pour nombre cardinal la deuxième puissance; et ainsi de suite.

Réciproquement, tout ensemble de la première puissance a pour nombre ordinal un nombre de la deuxième classe; tout ensemble de la deuxième puissance a pour nombre ordinal un nombre de la troisième classe, et ainsi de suite.

H y a plus : étant donné un ensemble bien défini, on peut le transformer en un ensemble bien ordonné d'une infinité de manières; sa puissance reste

seule constante, son nombre (ordinal) est, dans une certaine mesure, arbitraire et indéterminé. Dans ces conditions, c'est-à-dire si Ton est libre de changer à volonté Tordre des éléments de l'ensemble, un ensemble de la première puissance pourra être dénombré par un nombre quelconque de la classe II (comme on Ta vu plus haut [57]) ; un ensemble de la deuxième puissance pourra être dénombré par un nombre quelconque de la classe III, et ainsi de suite1. En d'autres termes, le nombre ordinal de l'ensemble donné pourra varier dans les limites d'une même classe, et devenir égal à tel nombre qu'on voudra de la puissance de l'ensemble donné.

Tous les nombres de la (m -f- l)e classe ayant la m0 puissance (et ceux-là seuls), il convient de choisir, pour représenter la m0 puissance, le plus petit (c'est-à-dire le premier) des nombres de la (m -f- l)e classe : par exemple la première puissance sera représentée par o>, la deuxième par Q, etc. Ainsi les nombres cardinaux infinis sont ceux que l'on crée en vertu du troisième principe de formation [45]. Cela est d'autant plus naturel que l'on est obligé de créer chacun d'eux successivement pour représenter la multitude de tous les nombres déjà formés, c'est-à-dire la puissance de la classe précédente (la mc puissance étant celle de la me classe de nombres).

D'ailleurs, tout ensemble de la première puissance peut avoir pour nombre w, tout ensemble de la deuxième puissance peut avoir pour nombre Û, etc. En effet, tout ensemble de la première puissance est, par définition, équivalent à la classe 1, donc il peut être rendu semblable à la suite des nombres finis; or, sous cette forme, il aura pour nombre ordinal w.