La suite des puissances ou nombres cardinaux infinis

eo, û,

est illimitée, comme on sait; bien plus, elle est aussi infinie que la suite des nombres ordinaux tant finis que transfinis, bien que ceux-ci soient infiniment plus nombreux, et que leur multitude, déjà infinie dans la première classe, croisse incomparablement plus vile que le nombre des puissances (ou des classes) consécutives : en effet, le seul nombre cardinal w correspond à la classe II (ensemble de la deuxième puissance), le seul nombre cardinal O correspond à la classe III (ensemble de la troisième puissance), etc. Ainsi, bien qu'à chaque classe de nombres ordinaux corresponde un seul des nojnbres cardinaux, le nombre ordinal de ceux-ci est égal à celui des nombres ordinaux, c'est-à-dire dépasse tout nombre ordinal infini f.

60. Cherchons maintenant ce que deviennent les notions et les propriétés définies dans ce paragraphe, quand on les applique aux ensembles finis.

En général, tout ensemble bien ordonné a un nombre ordinal, et un seul; tout ensemble bien défini a un nombre cardinal, et un seul; mais il

i. Les ensembles qu'on a appelés précédemment • dénombrantes • [§§ I (8) et II] sont ceux de la première puissance, c'est-à-dire ceux qui sont dénomhrables par des nombres de la deuxième classe (Cantor, Grundlagen...., § 2).