G. Cantor, Grundlagen..,, note

n'y a pas de contradiction, a priori, à supposer qu'il puisse avoir plusieurs nombres ordinaux différents, suivant Tordre qu'on assigne à ses éléments pour en faire un ensemble bien ordonné : car d'un seul ensemble bien défini donné on peut faire plusieurs ensembles bien ordonnés.

Or, par définition, toute partie intégrante d'un ensemble fini a une puissance plus petite que cet ensemble [5]. 11 en résulte que le nombre cardinal d'un ensemble fini est plus grand que celui d'une quelconque de ses parties intégrantes.

De plus, deux ensembles finis équivalents sont toujours semblables, quel que soit l'ordre de leurs éléments [5]. Par conséquent, si deux ensembles finis ont le même nombre cardinal, ils ont toujours aussi le même nombre ordinal. Ainsi, dans les ensembles finis (et dans ceux-là seulement) le nombre ordinal est indépendant de l'ordre des éléments, de sorte qu'à chaque nombre cardinal correspond un seul nombre ordinal.

On peut encore se rendre compte autrement de celte propriété essentielle et caractéristique des ensembles et des nombres finis. Le nombre cardinal d'un ensemble reste évidemment invariable tant qu'on ne change pas le contenu île cet ensemble, mais seulement l'ordre de ses éléments; en d'autres termes, tant qu'on ne supprime ni n'ajoute d'éléments. Or, pour que le nombre ordinal d'un ensemble reste invariable, quand on change l'ordre de ses éléments (sans changer son contenu), il faut et il suffit que la transformation de l'ensemble puisse se ramener à une suite finie ou infinie de transpositions, c'est-à-dire de permutations réciproques de deux éléments1. En effet, si deux éléments échangent leurs places, rien n'est changé au type d'ordre de l'ensemble, chacune des deux places étant comme auparavant occupée par un élément.

Or toute transformation ou interversion d'un ensemble fini équivaut à une suile (finie) de permutations de deux éléments *, c'est-à-dire que l'on peut, par des permutations convenables, ranger les éléments d'un ensemble fini suivant un ordre quelconque arbitrairement donné. Il s'ensuit que le nombre ordinal d'un ensemble fini resle invariable dans toutes les interversions possibles de Tordre de ses éléments. Ainsi Vinvariancc du nombre (ordinal) dans les ensembles finis est une propriété exceptionnelle, particulière à ces ensembles, qui découle de la définition de l'ensemble fini \# P., I, i, e].

En résumé, les notions de puissance et de nombre sont, respectivement, la généralisation des notions de nombre cardinal et de nombre ordinal : la puissance seule est essentiellement indépendante de Tordre assigné aux éléments de l'ensemble; le nombre, au contraire, en dépend. Seulement, ces deux concepts, bien distincts dans les ensembles infinis, coïncident constamment et se confondent dans les ensembles finis et dans les nombres entiers finis 3.