VI

61. Revenons maintenant à la théorie des ensembles dérivés, d'où est issue la théorie des nombres infinis que nous venons d'exposer (§§ IV et V). Comme nous l'avons dit [39], celle-ci est utile et même indispensable au développement de la première, car elle permet, ainsi qu'on va le voir, de serrer de plus près les ensembles du second genre et de rechercher leurs propriétés en étudiant leurs dérivés d'ordre infini.

Avant d'exposer les résultats les plus importants de cette étude, nouspouvons annoncer tout de suite ce fait très remarquable qui doit en ressortir finalement, à savoir que la considération des dérivés dont le numéro d'ordre appartient à la classe II suffit, dans tons les cas, à définir complètement la puissance et les propriétés des ensembles infinis du second genre (c'est-à-dire pour lesquels, les dérivés d'ordre infini n'étant pas nuls, la considération des dérivés d'ordre fini ne suffit pas). En effet, pour tout ensemble P, il existe toujours un certain nombre a, de la première ou de la deuxième classe, tel que le dérivé d'ordre «, P», soit ou nul, ou parfait : dans les deux cas, tous les dérivés suivants sont nécessairement identiques à Pa, de sorte que leur considération devient superflue l.

62. 11 convient de distinguer, dans la classe II, deux espèces de nombres : les nombres de la première espèce sont ceux qui sont immédiatement précédés, dans la suite, d'un autre nombre, qui est le dernier avant eux; les nombres de la seconde espèce sont ceux qui n'ont pas avant eux de dernier nombre : tels sont

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Autrement dit, les nombres de la première espèce sont ceux qu'on obtient au moyen du premier principe de formation, c'est-à-dire en ajoutant l'unité au nombre précédent a; ils sont de la forme : « + i ; nous les désignerons par p , de sorte que le nombre précédent sera p — 1 . Au contraire les nombres de la seconde espèce sont ceux qu'on obtient par le deuxième principe de formation, c'est-à-dire, qui viennent après une suite infinie d'autres nombres : un tel nombre est le premier après tous les nombres qui le précèdent, sans que parmi ceux-ci il y en ait un dernier. Il ne suit donc immédiatement aucun nombre déterminé, de sorte que le nombre a — 1 n'existe pas pour lui. Nous désignerons les nombres de cette espèce par y. La lettre « désignera dans la suite un nombre quelconque de la classe 11.