Pour tout ensemble P du premier genre, on a
En effet, tous les dérivés d'un ensemble du premier genre sont nuls, par I. G. Castor, ap. Mathematische Annalen, t. XXIII.
définition [39], à partir d'un certain rang fini, c'est-à-dire marqué par un
nombre de la classe 1 ; donc, a fortiori, le dérivé P est nul. Réciproquement, si Ton a
P" = 0, l'ensemble P est du premier genre.
En effet, en vertu de la définition de P*0, si l'ensemble était du second genre, c'est-à-dire si aucun des dérivés de la suite infinie
n'était nul, tous ces dérivés (dont chacun contient tous les suivants)
auraient un plus grand commun diviseur non nul, qui serait P ; ce qui
est contre l'hypothèse.
Ainsi, pour qu'un ensemble P soit du premier genre, il faut et il suffit qu'on ait
Pw = 0.
64. Remarque. — On pourrait s'imaginer que, pour tous les ensembles,
P est nul ou parfait, de sorte que les dérivés consécutifs seraient tous
identiques à Pw, et ne s'en distingueraient que d'une manière tout idéale. Mais cette présomption serait erronée, car on peut construire des ensembles
du second genre pour lesquels le dérivé P se réduit à un point donné à
l'avance, et, par suite, le dérivé P*"*"1 s'annule (« étant un nombre quelconque de la deuxième classe).
65. On sait que tous les ensembles du premier genre sont de la première puissance [39] ; il s'agit à présent de distinguer, parmi les ensembles du second genre, ceux qui ont la première puissance et ceux qui ont une puissance supérieure. C'est à quoi sert la considération des dérivés d'ordre «.
Théorème. — Tout ensemble (du second genre) pour lequel P est de la première puissance a aussi la première puissance.
On en conclut qu'inversement, pour tout ensemble d'une puissance supérieure à la première, aucun dérivé d'ordre « n'a la première puissance.
Remarque. — La réciproque de ce théorème n'est pas vraie, et il ne faudrait pas croire que tout ensemble de la première puissance ait un
dérivé P de la première puissance. Mais voici un critérium un peu plus précis.
Si un ensemble P est tel qu'un de ses dérivés d'ordre a s'annule,
Pa = 0.
il est de la première puissance, ainsi que tous ses dérivés. La réciproque n'est vraie que pour les ensembles fermés : Si un ensemble de la première puissance est fermé, il a un dérivé nul :
Pa == o.
Corollaire . — Un ensemble de la première puissance ne peul jamais être parfait ( c'est-à-dire fermé).
La proposition précédente est valable pour le dérivé d'un ensemble quelconque (tout ensemble dérivé étant fermé [37]). Donc, si un ensemble P a un premier dérivé P' de la première puissance, il a un dérivé nul :
Un tel ensemble est dit réductible.
66. Au contraire, si le premier dérivé F d'un ensemble P a une puissance supérieure à la première, aucun des dérivés d'ordre a ne s'annule, et il
existe toujours des points communs à tous les ensembles P . L'ensemble de ces points (c'est-à-dire le plus grand commun diviseur de tous les P ) constitue un ensemble parfait non nul, P .
Réciproquement, si aucun des dérivés d'ordre a d'un ensemble P n'est nul, le premier dérivé P' a une puissance supérieure à la première (ce qui ne veut pas dire que l'ensemble P lui-même ne puisse pas avoir la première puissance).
Si l'on a, pour un nombre a quelconque de la classe II :
on a évidemment aussi :
Réciproquement, si l'on a pour un ensemble donné P :
on doit avoir aussi [cf. 63] :
PU s 0,
pa = o.
Ainsi, pour qu'un ensemble (du second genre) soit réductible (c'est-à-dire pour que son premier dérivé soit de la première puissance), il faut et il suffit qu'on ait
En général, si un dérivé «le la forme PT (y étant un nombre de la seconde
espèce) s'annule, il y a toujours avant lui des dérivés de la forme Pp qui sont aussi nuls (p étant un nombre de la première espèce)^ Cette propriété se démontrerait exactement comme la propriété analogue du nombre o> pour les ensembles du premier genre [63]. On en conclut que, si un ensemble est réductible, le premier de ses dérivés qui s'annule (or il y en a
toujours un premier) est de la forme P^ (p étant de la première espèce).
En résumé, si le premier dérivé P' d'un ensemble P est de la première puissance, on a
s'il est d'une puissance supérieure à la première, le dérivé P est parfait (non nul); et réciproquement.
67. Le dérivé P est contenu dans P'; soit R l'ensemble qu'on obtient
quand on retranche de P' la partie P , c'est-à-dire quand on y supprime tous les points de P : on a
F = Pû 4- R.
Cet ensemble R est de la première puissance au plus.
De même que, si P est nul, il y a avant lui une infinité de dérivés P
nuls, et parmi eux un qui est le premier de tous; de même, quand P est
parfait, il y a avant lui une infinité de dérivés P parfaits, et parmi eux il y en a toujours un qui est le premier, tel que
pB^p"+, = pa+,=.... = pû.
Pour ce même nombre « (le plus petit de ceux pour lesquels P est parfait) on a * :
3>(R, Ra)~0.
Remarque. — La proposition précédente peut s'appliquer aux ensembles réductibles : il suffit de faire
PûhO dans la formule générale
P' == Pû + R
et d'énoncer le théorème sous la forme suivante :
Si P' est un ensemble fermé quelconque (en particulier le dérivé d'un ensemble P), on peut le partager en deux ensembles dont l'un, R, est de la
première puissance au plus, et dont l'autre, P , est nul si P' est de la première puissance, ou parfait si P' est d'une puissance supérieure à la première.
68. On peut étendre ce dernier théorème à un ensemble quelconque (non fermé). Nous allons énoncer les propositions principales auxquelles M. Gantor est parvenu 2.
Définitions. — Rappelons d'abord qu'on appelle condensé un ensemble qui est tout entier contenu dans son dérivé.
Un ensemble dont aucune partie intégrante n'est condensée s'appelle un ensemble séparé.
Le premier dérivé d'un ensemble condensé est un ensemble parfait. Cet ensemble est donc évidemment irréductible.
Tout ensemble réductible est, par suite, séparé. Ainsi tout ensemble fermé «le la première puissance est séparé; l'ensemble désigné par R dans le numéro précédent est séparé.
Cela posé, on démontre les deux théorèmes suivants :
Un ensemble infini séparé n'a que la première puissance.
Tout ensemble d'une puissance supérieure à la première a une partie condensée (proposition inverse de la précédente).
