Acla mathemalica, t. VII

Tout ensemble d'une puissance supérieure à la première peut être décomposé en un ensemble séparé et un ensemble condensé.

69. Nous allons terminer cet exposé sommaire de la théorie des ensembles en reproduisant la définition de l'ensemble continu, qui en est le couronnement '. Gomme la plupart des définitions mathématiques, elle peut être considérée, soit comme une définition d'idée, soit comme une définition de mot. Au point de vue strictement scientifique, c'est une définition de mot, car un concept n'existe, en Mathématiques, qu'autant qu'on en pose une définition claire et rigoureuse. Au point de vue philosophique, au contraire, c'est une définition d'idée : car il est incontestable que nous avons tous l'idée de continuité, sous une forme instinctive et spontanée, partant confuse et vague, qu'une définition mathématique peut sans doute préciser, mais non créer de toutes pièces. Au premier point de vue, qui est celui de la Logique pure, la définition du continu est essentiellement arbitraire, et par suite aussi légitime que toute autre. Au second point de vue, qui est celui de la Critique, la définition du continu peut être plus ou moins valable, suivant qu'elle exprimera, d'une façon plus ou moins exacte et complète, l'idée rationnelle de la continuité, dont elle n'est qu'une traduction mathématique. C'est donc à ce second point de vue qu'il faut se placer pour apprécier la justesse et la valeur de cette définition. C'est aussi à ce point de vue que son auteur s'est placé pour la trouver d'abord, et ensuite pour la justifier, et il faut lui savoir gré d'avoir pris dans cette question délicate une attitude nettement philosophique, alors que tant de mathématiciens se laissent aller à la tentation de trancher des questions d'ordre philosophique par des conventions arbitraires, c'est-à-dire de remplacer des définitions d'idées par des définitions de mots.

Analysant l'idée rationnelle du continu, M. Cantor y découvre d^abord le caractère de l'ensemble parfait : on sait qu'un tel ensemble est identique à son dérivé [36J, c'est-à-dire que chacun de ses points est en même temps un point-limite, et que chacun de ses points-limites est un de ses points. Ce caractère de « parfait > est donc nécessaire pour définir un ensemble continu ; mais il n'est pas suffisant : il faut y joindre l'attribut « connexe ».

On dit qu'un ensemble de points P (de l'espace à n dimensions) est connexe ', si, étant donnés deux points quelconques po, p de cet ensemble, et un nombre e aussi petit qu'on veut, on peut toujours trouver (et de plusieurs manières) un nombre fini (n) de points de P, savoir :

Pi» Pi» •••• P»?

tels que les distances

1. Cette définition aurait pu être énoncée beaucoup plus tôt, § III par exemple ; mais on en saisira mieux le sens et la portée après la théorie des nombres infinis, résumée dans les §§ IV et V.

2. « Zusammenhângend. » Ce mot est traduit dans les Acta mathematica (t. H) par» bien enchainé »; M. Jordan le traduit par • d'un seul tenant » : Journal de Liouville, 4e série, t. VIII (1892).

654 *0TE Iv

M»i> PiPi» •••• P*P

soient fowfes plus petites que e *.

La « distance > de deux points de l'espace (arithmétique) à n dimensions se trouve définie dans l'Ouvrage cité; nous bornant aux ensembles linéaires, c'est-à-dire à l'espace à une dimension, nous dirons que la distance de deux points (arithmétiques) de cet espace est la valeur absolue de la différend» des nombres correspondants (de leurs abscisses). La condition énoncée dans la définition de l'ensemble connexe revient en somme à ceci : On peut toujours intercaler entre deux points donnés un nombre (fini) suffisant di» points appartenant à l'ensemble et formant une chaîne qui les relie l'un à l'autre, de telle sorte que la distance de deux points consécutifs de la chaine soit plus petite qu'une quantité donnée e.

L'auteur remarque ensuite que tous les ensembles que nous qualifions de continus sont des ensembles connexes. Le caractère t connexe » est donc encore nécessaire pour délinir le continu : mais il n'est pas non plus suffisant. Au contraire, M. Cantor t croit reconnaître dans ces deux attributs parfait et connexe les caractères nécessaires et suffisants du continu, et définit par conséquent un ensemble continu de points : un ensemble conncre et parfait f . »

Pour éclaircîr cette définition par l'exemple le plus simple, l'ensemble des nombres rationnels est un ensemble conncre, mais noif parfait : car si tout nombre rationnel est une valeur-limite de cet ensemble, tout nombre irrationnel en est aussi une valeur-limite. Mais si l'on complète cet ensemble en lui ajoutant l'ensemble des nombres irrationnels, il deviendra identique à son dérivé (c'est-à-dire à l'ensemble de ses points-limites) et, par suite, il sera parfait. L'ensemble conne.ee et parfait des nombres réels est donc bien

continu.

Remarque. — Ces considérations, qui seraient de simples conséquences de la définition précédente, si elle était une définition de mot, en sont une vérification, quand on la regarde comme une définition d'idée : on retrouve, en effet, dans l'ensemble des nombres réels, considéré d'avance comme continu, les deux caractères essentiels qui figurent dans la définition.

Tout intervalle fini découpé dans l'ensemble des nombres réels est aussi continu, s'il contient ses deux bornes; en langage géométrique, tout segment linéaire fini est continu, s'il comprend ses extrémités. En effet, les deux points extrêmes sont des points-limites de l'ensemble des points intermédiaires. Si l'on supprime l'un des deux points extrêmes (ou tous les deux), l'intervalle n'est plus un ensemble continu (car il n'est plus parfait): on l'appelle semi-continu [Note H, 2\

Le dérivé d'un ensemble connue est toujours un ensemble continu. Par

i. (i. Cantor, Grundlagen...., § 10.

2. L'auteur a encore précisé davantage son intention dans la note 12 {op. cit.) : • Je sais fort bien que le mot « continu • n'a pas encore reçu de sens fixe en Mathématique; par suite, ma définition paraîtra trop étroite aux uns, trop large aux autres : j'espère avoir réussi à trouver le juste milieu • [mots soulignés par l'an teurj.

exemple, l'ensemble des nombres rationnels d'un intervalle a pour dérivé l'ensemble des nombres réels de cet intervalle (y compris ses deux bornes).

70. Une question reste à résoudre: quelle est la puissance d'un ensemble continu?

11 suffit de la résoudre pour le continu linéaire, puisque nous savons qu'un ensemble continu à n dimensions n'a que la puissance du continu linéaire, par exemple de l'intervalle (0, 1).

On peut d'abord démontrer que tout ensemble linéaire parfait a la même puissance que le continu linéaire.

On étend ensuite cette propriété aux ensembles parfaits à n dimensions.

On établira en outre la proposition suivante :

Tout ensemble infini de points de l'espace à n dimensions a, soit la première puissance, soit la puissance du continu linéaire (laquelle est celle de l'espace continu à n dimensions).

Puisqu'un ensemble infini de points ne peut prendre que ces deux puissances, on en conclut qu'il n'y en a pas d'autre intermédiaire, et que le continu linéaire a la deuxième puissance. Ainsi se trouvent identifiées la seconde puissance considérée dans les $!§ I et II, et la deuxième puissance définie avec rigueur dans le § IV [49] comme la puissance de la deuxième classe des nombres entiers infinis.