CHAPITRE IV
Nous avons omis à dessein, dans l'exposé précédent, une espèce de nombres qu'on ne peul construire par la même méthode que ceux des autres ensembles, c'est-à-dire en assemblant deux ou plusieurs nombres d'un ensemble antérieurement défini pour en former un nouveau symbole : ce sont les nombres irrationnels. Pour définir ceux-ci, il ne sulïit plus de grouper un nombre fini de nombres déjà connus : il en faut considérer une infinité. Cette remarque suffit à faire entrevoir la différence profonde qui sépare ces nouveaux nombres de tous ceux que nous avons étudiés jusqu'ici. C'est par eux que la notion d'infini pénètre dans la Mathématique pure; aussi leur introduction dans l'Arithmétique générale est -elle, selon un mot de M. Stolz *, le point d'inflexion du développement de la science. Pour la même raison, celte espèce de nombres est de beaucoup la plus importante pour nos recherches, à cause de sa liaison étroite avec les idées d'infini, de continu et de limite qui sont l'objet du présent travail.
1. Pour suivre l'ordre naturel et pour ainsi dire généalogique des notions mathématiques, il eût fallu définir les nombres irrationnels aussitôt après les nombres fractionnaires et avant les nombres qualifiés. En effet, de même que les fractions comblent en quelque sorte les intervalles des nombres entiers, de même les nombres irrationnels comblent les lacunes qui restent entre les nombres fractionnaires. L'introduction de ces nombres complète donc la suile linéaire des nombres arithmétiques et la rend continue, ainsi que tous les ensembles suivants, qui en sont formés.
1. « Das W'entlepunkt • Arithmétique générale, vol. I, ch. i).
En effet, l'ensemble des nombres arithmétiques, ainsi complété, fournit les éléments des couples algébriques, et c'est cet ensemble tout entier qui se trouve doublé, comme réfléchi dans un miroir, par l'ensemble des nombres qualifiés; à son tour, ce dernier ensemble, ainsi complété, fournit, sous le nom de nombres réels, les éléments constituants des nombres imaginaires. Tel est l'ordre logique dans lequel ces ensembles successifs s'engendrent et s'enveloppent les uns les autres. L'ordre que nous avons suivi serait donc inacceptable dans un traité didactique; mais nous avons cru pouvoir et devoir l'adopter dans une étude critique, où il importe avant tout de distinguer nettement les diverses méthodes employées dans la généralisation de l'idée de nombre. Nous avons tenu à rapprocher les définitions des nombres fractionnaires, qualifiés et imaginaires, pour faire ressortir leur analogie et l'uniformité do la méthode; et nous avons réservé pour la fin la définition des nombres irrationnels, qui eût interrompu l'enchaînement des ensembles précités, et troublé la symétrie de leur construction. Il suffit, pour rétablir l'ordre, d'avoir indiqué la véritable place des nombres irrationnels dans la hiérarchie des notions arithmétiques, et d'avoir marqué leur rang parmi les généralisations successives du nombre entier.
2. Le lecteur est donc toujours libre, si bon lui semble, d'intercaler par la pensée le présent Chapitre entre les Ghap. i et n de ce Livre : il n'y aura, de ce fait, rien à changer aux Chap. ir et m. Au contraire, cette transposition conférera à ces derniers toute la généralité qu'ils comportent : par exemple, les propositions suivantes : « Tout nombre arithmétique a une racine carrée; — Tout nombre positif a deux racines carrées, » ne sont vraies sans restriction qu'après l'introduction des nombres irrationnels. Celte remarque fait apparaître une analogie (la seule peut-être) entre les nombres irrationnels et les nombres imaginaires : les premiers permettent de généraliser la notion de racine arithmétique, de même que les seconds donnent lieu à une généralisation de la notion de racine algébrique. Grâce à l'introduction des premiers, tout nombre arithmétique (même non carré parfait) a une racine carrée ou d'ordre quelconque; grâce U l'introduction des seconds, tout nombre qualifié (même négatif) a deux racines carrées, et en général n racines d'ordre n. Disons tout de suite que l'introduction des nombres irrationnels ne trouble nullement la théorie des nombres entiers et n'altère en
aucune façon leurs propriétés; en particulier, elle ne change rien à la distinction établie, en Arithmétique pure, entre les nombres « carrés parfaits » et les nombres « non carrés parfaits ».
