Définitions. — Nous appellerons désormais
Nombres rationnels, les nombres entiers et les fractions, qui constituent l'ensemble des nombres fractionnaires défini Ch. i;
Nombres arithmétiques, l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels, que nous allons définir;
Nombres réels, l'ensemble des nombres qualifiés ayant pour éléments des nombres arithmétiques.
D'après ce qui vient d'être dit, on peut et on doit entendre dans ce nouveau sens les termes « nombres arithmétiques » et « nombres réels » qui figurent dans les Ghap. h et m, de manière à donner toute leur extension à l'ensemble des nombres qualifies et à celui des nombres complexes.
4. Pour définir les nombres irrationnels, on peut employer deux méthodes principales l : par Tune, on définit le nombre irrationnel comme la limite d'une suite infinie, ou comme la somme d'une série infinie de nombres rationnels (M. Cantor, M. Weierstrass) ; par l'autre, on le considère comme intermédiaire entre deux classes (infinies) de nombres rationnels (M. Dedekind, M. Tannery). La seconde nous semble préférable, pour plusieurs raisons. D'abord, la définition à laquelle elle conduit est plus générale; en eilet elle est indépendante des diverses suites ou séries par lesquelles on peut définir le nombre irrationnel, suivant la première méthode, car on sépare d'abord la totalité des nombres rationnels en deux classes, qui contiennent évidemment d'avance les termes de toutes les suites de nombres rationnels qu'on pourra imaginer. Ensuite, elle est plus précise : en efTet,elle donne tout de suite au symbole défini un sens exact, en lui assignant ipso facto sa place dans l'échelle des nombres, puisqu'il se trouve intercalé dans la suite des nombres rationnels, et elle lui confère immédiatement le caractère de grandeur mathématique. Mais elle a surtout cet avantage, incomparable au point de vue philosophique, de ne pas faire appel, expressément du moins, à l'idée d'infini, et d'être dégagée de toute considération de limite, ce qui permet de donner ensuite de la limite une définition absolument générale et rigoureuse. Telle est la marche que nous suivrons dans
1. G. Castor, Grundlagen einer atlgemeinen Mannichfaltigkeitstehre, § 9.
le présent Chapitre; c'est celle qu'a conseillée et suivie M. Tannery ', à qui nous emprunterons à la fois la définition de la limite et celle du nombre irrationnel.
5. Mais auparavant il convient de récapituler les propriétés essentielles de l'ensemble des nombres rationnels, qui va nous servir de base, alin d'en définir le caractère et la constitution et de préciser la nature des lacunes auxquelles nous avons fait allusion plus haut.
Si Ton considère l'ensemble des nombres rationnels (ou fractionnaires) tel qu'il a été défini dans le Ghap. i, mais en excluant le zéro (entier ou fractionnaire), il possède les propriétés suivantes * :
I. — La somme, la différence, le produit el le quotient de deux nombres quelconques de l'ensemble sont des nombres du même ensemble.
Remarque. — La différence de deux nombres n'existe que si les deux nombres sont inégaux et si leur ordre n'est pas donné. Elle est
a — b si a ^ - b
et
b — a si a \ b.
Le zéro étant exclu de l'ensemble, on .ne dira plus que la différence de deux nombres égaux est nulle, mais que deux nombres égaux n'ont pas de différence.
H. — Étant donné un nombre quelconque, on peut toujours en trouver un plus grand.
En effet, soit A le nombre donné, B un nombre quelconque de l'ensemble : le nombre A -h B appartient à l'ensemble (en vertu de I) et est plus grand que A.
Remarque. — Celte propriété appartenait déjà à l'ensemble des nombres entiers.
On peut préciser la question : Trouver le plus petit nombre entier qui soit plus grand que le nombre donné.
Il y a lieu de distinguer deux cas.
Si le nombre donné A est un nombre entier n9 le nombre demandé est évidemment n -+- 1.
Si le nombre donné A est une fraction —, si l'on extrait les entiers
1. Introduction à la théorie îles fonctions d'une variable, p. ix et x.
2. Voir Stolz, op. cit., vol. I7 ch. v; Padê, op. cit., § 4tî. — Cf. Dedekind, Stetvjkext und irrationale Zahlen, § 1.
ot) LIV. I. — GÉNÉRALISATION ARITHMETIQUE DU NOMBRE
k contenus dans cette fraction (d'après la règle énoncée Chap. i, 16) le nombre demandé est :
En effet, on a, en vertu de cette règle, la formule
où
c'est-à-dire
Donc :
III. — Étant donné un nombre quelconque, on peut toujours en trouver un plus petit.
Cette propriété est une conséquence de la précédente, et de l'introduction des nombres fractionnaires.
En effet, soit e le nombre donné; - est aussi un nombre de Ten-
semble. Prenons un nombre entier supérieur à - (par exemple, le
plus petit des nombres entiers supérieurs à -, en vertu de la règle
précédente), soit
on en conclut :
Or - appartient à l'ensemble; c'est donc le nombre cherché.
6. Corollaires. — 1° Ainsi l'ensemble des nombres rationnels est tel, qu'il n'y en a aucun qui soit plus grand ou plus petit que tous les autres.
2° Entre deux nombres inégaux quelconques, il en existe toujours un troisième, et par suite une infinité.
En effet, soient a et 0 les deux nombres inégaux donnés : le nombre
— ^ — (leur moyenne arithmétique) appartient à l'ensemble et répond
à la question, car si
Cil. IV. — THÉORIE DES NOMBRES IRRATIONNELS ET DES LIMITES 57
on a :
« > — ô>~~ > b- Remarque. — On a identiquement :
mm m*
On peut généraliser ce procédé, et intercaler non plus un, mais (h — 1) nombres entre deux nombres donnés. Il suffit de prendre la n9 partie de leur différence, et de l'ajouter 1 fois, 2 fois,... (n — 1) fois au plus petit.
On obtient ainsi la suite des nombres :
l l . a — b , , Q a — b l . / nfl — b r . ,v
M H — , ft-4-2 — ^— , 4 -h (n— i)— j-f ft + (fl — b)=a
qui appartiennent tous à l'ensemble des nombres rationnels. La différence de deux nombres consécutifs est constante :
et peut être rendue aussi petite qu'on veut en choisissant n suffisamment grand (en vertu de III).
En particulier, entre deux nombres entiers consécutifs (A, A -h 1) on peut intercaler autant de nombres qu'on veut, et dont la différence soit aussi petite qu'on veut. Il suffit d'appliquer la règle précédente ; on trouve :
A, A* -4- -, A :-4--, .... A -+- n "~ , k -t- ~ — A -+- 1. ' tr » n n
Bien que zéro soit exclu de l'ensemble, on peut opérer de même dans l'intervalle (0, 1) et y intercaler (n — i) nombres appartenant
à l'ensemble :
4 9 n in
foi i - .... - ? — 1
On voit que pour transporter cette division dans l'intervalle de deux nombres entiers consécutifs quelconques (A, A -+- 1), il suffit d'ajouter A à chacun des nombres de cette suite (progression
arithmétique de raison -).
On a ainsi un procédé systématique pour construire progressivement l'ensemble des nombres rationnels. Il suffit de faire successivement, dans la formule précédente, n égal à i, à 2, à 3,... à tous les
nombres entiers consécutifs. On obtiendra ainsi, dans l'intervalle (0, 1), autant de fractions qu'on voudra, et aussi peu différentes qu'on voudra, et Ton répétera cette division dans tous les intervalles de deux nombres entiers consécutifs. Ce procédé est évidemment illimité comme la suite des nombres entiers qu'on substitue à n. Le nombre des fractions comprises entre deux nombres entiers consécutifs (a fortiori quelconques) est égal ou supérieur à n dès que n ~3; il est donc indéfini comme le nombre des nombres entiers.
7. Toutes ces propriétés de l'ensemble des nombres rationnels peuvent se résumer en deux mots :
1» L'ensemble des nombres rationnels est illimité, et même doublement illimité : il est d'abord illimité dans le sens de la grandeur, comme l'ensemble des nombres entiers, en ce sens qu'on peut toujours y trouver un nombre plus grand que toute quantité donnée;
il est aussi illimité dans le sens de la petitesse (comme la fraction
- quand n parcourt toutes les valeurs entières croissantes), en ce
sens qu'on peut toujours y trouver un nombre plus petit que toute quantité donnée.
2° L'ensemble des nombres rationnels est connexe f, c'est-à-dire que la différence entre deux nombres consécutifs de cet ensemble peut être rendue plus petite que toute quantité donnée, et que, par suite, on peut relier deux nombres quelconques de l'ensemble par une suite ou « chaîne » de nombres du même ensemble, telle que la différence de deux nombres consécutifs de cette suite soit plus petite qu'une quantité donnée.
Mais on ne peut dire que cet ensemble soit continu, car il admet une infinité de lacunes (infiniment petites d'ailleurs) qu'on appelle des coupures f.
Les nombres irrationnels ont été inventés pour combler les coupures de l'ensemble des nombres rationnels et le transformer en un ensemble continu. Nous allons définir à la fois ces coupures et les nombres irrationnels qui leur correspondent 3.
8. Soit proposé de trouver ta racine carrée de 3 (ou de tout autre
1. Ce mot correspond au lerme allemand « zusammenhângcnd » (Stolz, Cantor), qui se trouve traduit par • bien enchaîné » dans les Acta mathematica (t. Il) et par « d'un seul tenant • dans le Journal de M. Jordan (t. VIII, 1892).
