Dedekixd, op. cit., § 4. Voir aussi Stolz, toc. cit

3. J. Tannkry, op. cit., ch. i : Des nombres irrationnels et des limites. Cf. Dedo kind, op. cit., § 5.

nombre rationnel non carré parfait). Il n'existe aucun nombre rationnel dont le carré soit égal à 3. En effet, 3 n'est le carré d'aucun nombre entier; il n'est pas davantage le carré d'une fraction, car on peut toujours supposer cette fraction irréductible, et son carré sera une autre fraction irréductible qui ne saurait être égale au nombre entier 3. Le nombre 3 n'a donc pas de racine carrée. Mais la recherche de cette racine nous révèle l'existence d'une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels, car elle fournit un moyen de séparer cet ensemble en deux classes : la première classe contiendra tous les nombres dont le carré est plus petit que 3; la seconde contiendra tous ceux dont le carré est plus grand que 3. Ces deux classes réunies contiendront évidemment tous les nombres rationnels, puisqu'il n'y en a aucun dont le carré soit égal à 3.

En outre, elles posséderont les propriétés que voici :

1° Tout nombre de la première classe est plus petit qu'un nombre quelconque de la seconde classe, et tout nombre de la seconde classe est plus grand qu'un nombre quelconque de la première classe. En effet, de deux nombres rationnels inégaux, c'est le plus grand qui a le plus grand carré, et le plus petit qui a le plus petit.

2° Dans la première classe il n'existe aucun nombre qui soit plus grand que tous les autres de la même classe; et de même, dans la seconde classe il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que tous les autres de la même classe.

En effet, supposons qu'il y ait dans la première classe un nombre a plus grand que tous les autres nombres de cette classe. Puisque a appartient à la première classe, son carré est plus petit que 3 :

Puisque a est le plus grand nombre de la première classe, tout nombre rationnel (a -h h) plus grand que a appartient à la seconde classe, c'est-à-dire que son carré est plus grand que 3 :

Or la différence des carrés de ces deux nombres est

(a -h h)' — a' — <ïah -h h% . h (2« -h h)

et elle peut être rendue plus petite qu'un nombre rationnel donne,

car, en supposant

cette différence est inférieure à

h (ia + i).

Donc, pour qu'elle soit plus petite qu'un nombre rationnel quelconque s, il suffit de prendre

On peut, en particulier, choisir h de manière que cette différence soit plus petite que le nombre rationnel

3 — a\ On aura alors l'inégalité

mais elle entraine la suivante :

ce qui contredit l'hypothèse. Il n'y a donc pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les autres. On démontrerait de même qu'il n'y a pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres. A. plus forte raison, il n'y a pas de nombre rationnel qui soit à la fois plus grand que tous ceux de la première classe et plus petit que tous ceux de la seconde classe.

On dit dans ce cas que l'ensemble des nombres rationnels présente une coupure f. C'est cette possibilité de répartir tous les nombres rationnels en deux classes jouissant des propriétés énoncées qui définit la coupure, et en même temps le nombre irrationnel qu'on va créer pour la combler.

9. Définition *. « Toutes les fois qu'on a un moyen défini de séparer la totalité des nombres rationnels en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus petit que tout nombre de la seconde classe, telles en outre qu'il n'y ait pas dans la première classe un nombre plus grand que les autres nombres de la même classe, et, dans la seconde classe, un nombre plus petit que les autres nombres de la même classe, on convient de dire qu'on a défini un nombre irrationnel. »

Ce nombre irrationnel pourra être représenté par une lettre ou un symbole quelconque, ce symbole ne signifiant rien autre chose qu'un mode défini de classification des nombres rationnels, tel que celui qui vient d'être décrit, en un mot, une coupure de l'ensemble des nombres rationnels.