Empruntée textuellement à M. Tawnehy, op. cit
Par exemple, le mode de décomposition indiqué plus haut définit le nombre irrationnel \/3. Ce symbole ne signifie pas le nombre dont le carré est 3, mais l'absence de nombre rationnel ayant pour carré 3.
La première classe sera dite classe inférieure relative à ce nombre irrationnel; la seconde, classe supérieure; et Ton dira que ce nombre irrationnel est plus grand que tous les nombres de la classe qui lui est inférieure, et plus petit que tous les nombres de la classe qui lui est supérieure.
Remarque. — Cette convention permet d'assigner immédiatement au nombre irrationnel une place dans la suite linéaire des nombres rationnels, en l'intercalant entre les deux classes qui le définissent. Elle ne contredit nullement, d'ailleurs, la proposition précédemment démontrée, à savoir qu'il n'y a aucun nombre (rationnel) qui soit à la fois plus grand que tous les nombres de la première classe et plus petit que tous les nombres de la seconde classe. Bien au contraire, c'est précisément parce qu'il n'y a aucun nombre rationnel qui jouisse de cette propriété, qu'on est autorisé et amené à en doter le nouveau nombre qu'on vient de créer, et qui primitivement n'est rien de plus que le symbole d'une coupure.
10. Tout nombre rationnel A permet de répartir les autres nombres rationnels en deux classes possédant les propriétés énoncées; la première comprendra tous les nombres rationnels plus petits que A, la seconde tous les nombres rationnels plus grands que A. On peut donc dire que ce nombre rationnel est, lui aussi, défini par un certain mode de décomposition de l'ensemble des nombres rationnels. Seulement, il ne faut pas oublier que les deux classes ainsi formées ne contiennent pas la totalité des nombres rationnels, puisque le nombre rationnel A lui-même en est exclu ; ou bien, si on l'ajoute à l'une des deux classes, à la classe inférieure par exemple, il y aura dans cette classe un nombre plus grand que tous les autres, & savoir A, ce qui est contraire h l'énoncé. De toute façon, il manque une des conditions ou des propriétés nécessaires pour que la définition précédente soit valable; il n'y a donc pas là une véritable coupure de l'ensemble des nombres rationnels, et par conséquent il n'y a pas lieu de. créer un nombre irrationnel qui ferait double emploi avec le nombre rationnel A. Il était cependant utile de remarquer cette analogie entre les nombres rationnels et irrationnels, analogie qui se manifeste surtout dans le rôle qu'ils jouent comme limites.
11. Il ne suffît pas de créer un nombre, ou plutôt un symbole, pour en faire une grandeur mathématique qu'on puisse soumettre au calcul. Nous n'avons défini jusqu'ici que l'inégalité d'un nombre irrationnel par rapport aux nombres rationnels.il faut encore définir l'égalité et l'inégalité de deux nombres irrationnels, puis leur somme et leur produit; et ces définitions doivent non seulement n'être pas contradictoires entre elles ou avec les définitions établies pour les nombres rationnels, mais aussi vérifier les conditions générales que nous avons énumérées pour les nombres rationnels.
Définition de l'égalité l. — Deux nombres irrationnels A et B sont dits égaux, et l'on écrit
quand les deux modes de décomposition qui les définissent sont identiques, c'est-à-dire quand les deux classes relatives à l'un coïncident respectivement avec les deux classes relatives à l'autre. Pour cela, il suffit que deux classes correspondantes (ou de même nom) soient identiques, l'identité des classes inférieures entraînant l'identité des classes supérieures, et réciproquement.
Gela revient à dire que chaque coupure de l'ensemble des nombres rationnels définit un nombre irrationnel unique.
Il résulte de cette définition que si deux nombres irrationnels sont égaux à un troisième nombre irrationnel, ils sont égaux entre eux. Ainsi se trouve vérifiée, pour les nouveaux nombres, celte propriété générale de l'égalité : Les égalités :
entraînent l'égalité
±2. Définition de l'inégalité. — Soient A, B deux nombres irrationnels non égaux. Cela signifie que les deux classes inférieures relatives à ces deux nombres ne sont pas identiques; il y a donc un nombre (rationnel) qui figure dans l'une d'elles, par exemple dans la classe inférieure relative à A, et qui ne figure pas dans l'autre; qui, par conséquent, figure dans lu classe supérieure relative à B. On dit alors que A est plus grand que B, et B plus petit que A, et l'on écrit :
