J. Tanner y, op. cit

Ainsi, par définition, cette inégalité entre deux nombres irrationnels A, B implique l'existence d'un nombre rationnel a tel que Ton ait :

D'ailleurs, un tel nombre existe toujours, quels que soient les nombres A et B (cf. 6, 2°).

Réciproquement, l'existence d'un nombre rationnel a tel que l'on ait :

entraîne, quels que soient les nombres A et B, l'inégalité

Il s'ensuit que, A, B, G étant des nombres quelconques (rationnels ou irrationnels), les inégalités

entraînent dans tous les cas l'inégalité

Ainsi se trouve étendue au cas des nombres irrationnels cette propriété générale de l'inégalité, qui est le fondement du calcul des inégalités.

Corollaire. — Étant donnés deux nombres irrationnels inégaux, il y a une infinité de nombres rationnels compris entre eux.

On peut donc formuler la proposition suivante, sans plus distinguer les nombres rationnels et irrationnels :

Entre deux nombres inégaux quelconques, il en existe une infinité d'autres (cf. 6, 2°).

13. Théorème. — Étant donnés deux nombres quelconques A, B, si Ton peut prouver qu'ils sont tous deux compris entre deux nombres rationnels dont la différence soit moindre que le nombre rationnel e, et cela quel que soit ce nombre e, les deux nombres A, B sont égaux '.

Ce théorème fournit un critérium d'égalité qui est très souvent employé dans les Mathématiques supérieures.

Une fois que les nombres irrationnels, au moyen des définitions précédentes, ont pris place dans la suite des nombres rationnels et sont pour ainsi dire mêlés avec eux, on définit leur addition et leur multiplication, toujours par la considération des coupures aux-