J. Tannbry, op. c

quelles ils correspondent, et Ton étend aux nouveaux nombres les opérations fondamentales avec leurs propriétés essentielles, de sorte qu'on n'aura plus à distinguer dans les calculs les nombres rationnels et irrationnels. On définit encore l'inverse d'un nombre irrationnel, ce qui permet d'étendre aux nombres irrationnels le calcul des fractions; enfin Ton peut, grâce à l'introduction de ces nouveaux nombres, définir d'une manière générale la racine ne arithmétique d'un nombre quelconque, ce qui, comme on l'a vu par l'exemple choisi plus haut, est l'origine arithmétique des nombres irrationnels et la première occasion de leur création !.

14. Nous avons dit, au début de ce Chapitre [4], qu'on pouvait aussi définir le nombre irrationnel comme la limite d'une suite infinie de nombres rationnels. Cette définition, moins générale que la précédente, est par là même plus commode, car elle dispense de considérer chaque fois la totalité des nombres rationnels, et permet de définir exactement le nombre irrationnel au moyen de certains nombres rationnels choisis et déterminés, qui, bien qu'en nombre infini, ne sont qu'une infime minorité dans l'ensemble des nombres rationnels. Cette méthode revient, en somme, à choisir dans une des deux classes relatives au nombre irrationnel (ou dans toutes les deux) une file de nombres qui représenteront ces classes et en tiendront lieu. 11 s'agit maintenant de préciser dans quelles conditions on peut substituer une suite infinie de nombres aux deux classes précédemment considérées pour définir le nombre irrationnel, et de déduire cette seconde définition, la seule pratique, de la première, en montrant qu'elles sont équivalentes.

15. Définition. — « On dit qu'une suite infinie de nombres rationnels

est donnée, quand on donne le moyen de calculer un terme quelconque uH connaissant son rang n. »

C'est ce qu'on exprime encore en disant que un est fonction de l'indice n (son numéro d'ordre), ce qui veut dire qu'à chaque valeur entière attribuée à n correspond une valeur déterminée de «„.

16. Définition. — « On dit qu'une suite infinie de nombres rationnels

i. Cf. J. Tannery, op. cit., §§ i 1-1 i.

f.Jl. IV. — ÏQÉORIE DES NOMBRES IRRATIONNELS ET DES LIMITES 65

esl convergente, si à chaque nombre rationnel positif e on peut faire correspondre un nombre entier n tel que Ton ait

I wp — "« I < *

pour toutes les valeurs des entiers p, g égales ou supérieures à n l. » En langage ordinaire, cela signifie qu'à partir d'un certain rang n la différence entre deux termes quelconques de la suite devient, en valeur absolue, inférieure au nombre donné e, et cela a lieu si petit que soit ce nombre e, à la condition de choisir n suffisamment grand. On dit encore que la différence entre deux termes de la suite décroît indéfiniment quand n augmente indéfiniment.

17. Définition. — « On dit qu'une suite infinie de nombres rationnels

wp uv w„,

a pour limite un nombre (rationnel) U, si à chaque nombre rationnel positif e on peut faire correspondre un nombre entier n, tel que Ton ait :

|U — wP|<e

pour toutes les valeurs de l'entier p égales ou supérieures à n *. »

En langage ordinaire, cela veut dire qu'à partir d'un certain rang n la différence entre le terme général up et le nombre U devient et reste inférieure, en valeur absolue, au nombre donné e; et cela a lieu si petit que soit ce nombre e, pourvu qu'on prenne n suffisamment grand. On dit alors que le terme général un s'approche indéfiniment du nombre U, ou qu'il tend vers la limite U quand n croit indéfiniment.

Cas particulier. — La définition précédente s'applique au cas où U - 0; l'inégalité devient alors

I w , | < e et l'on a l'énoncé suivant :

Une suite infinie de nombres (rationnels) a pour limite zéro, si à chaque nombre positif e on peut faire correspondre un nombre entier n, tel qu'à partir du rang n tous les termes de la suite soient inférieurs en valeur absolue à e. On dit alors que le terme général

i. Le signe | | désigne la valeur absolue de la quantité incluse : ainsi

l'inégalité précédente équivaut aux deux inégalités :

— e < uP — uq < + s.