J. Tannbry, op. cit
un devient infiniment petit, ou tend vers zéro, quand » croît indéfiniment.
Remarque. — Il résulte des deux définitions 16 et 17 que toute suite qui a une limite est convergente. On va établir la proposition réciproque, à savoir que toute suite convergente a une limite !.
Lemme. — Si une suite convergente de nombres rationnels n'a pas pour limite zéro, tous ses. termes finissent, à partir d'un certain rang », par être tous du même signe et plus grands en valeur absolue qu'un certain nombre rationnel e.
18. Théorème. — Si une suite convergente n'a pas pour limite lin nombre rationnel, elle permet de définir une coupure de l'ensemble des nombres rationnels, et par suite un nombre irrationnel.
En effet, si Ton range dans une première classe tous les nombres rationnels a tels que tous les termes de la suite finissent, après un certain rang, par êlre supérieurs à «, et dans une seconde classe tous les nombres rationnels b tels que tous les termes de la suite finissent, après un certain rang, par être inférieurs à b\ les deux classes ainsi formées comprendront tous les nombres rationnels et posséderont les propriétés caractéristiques d'une coupure. La suite considérée fournit donc le înoven de définir un nombre irrationnel. On dira, pour abréger, qu'elle définit ce nombre irrationnel.
Si au contraire une suite convergente a pour limite un nombre rationnel, on conviendra de dire, pour la symétrie, qu'elle définit ce nombre rationnel.
Ainsi toute suite convergente de nombres rationnels définit un nombre, rationnel ou non; et réciproquement, tout nombre, rationnel ou non, peut être défini par une suite convergente de nombres rationnels.
On démontre enfin qu'une suite convergente a pour limite le nombre qu'elle définit, même quand ce nombre est irrationnel.
Il est donc établi, d'une part, que tout nombre irrationnel peut être défini par une suite infinie de nombres rationnels (pourvu qu'elle soit convergente), aussi bien que par les deux classes que détermine une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels; d'autre part, que toutes les suites convergentes peuvent avoir pour limites des nombres irrationnels aussi bien que des nombres rationnels.
