J. Takxbby, op. cit
19. On peut construire une infinité de suites convergentes qui définissent un nombre irrationnel donné. Si Ton prend notamment les valeurs approchées de ce nombre, par défaut et par excès, avec une approximation croissante, ce nombre irrationnel sera défini par la suite de ses valeurs approchées par défaut ou par la suite de ses valeurs approchées par excès : il sera leur limite commune.
En particulier, si Ton prend les valeurs approchées par défaut d'un
il 1
nombre irrationnel à v~, j^, j^ près, on obtient un nombre
décimal indéfini, qui représentera ce nombre irrationnel avec autant
d'approximation qu'on voudra, puisque l'erreur commise en s'arrêtant
au nc chiffre décimal est moindre que j^.
On peut vérifier sur cet exemple le théorème énoncé plus haut, à savoir qu'une suite convergente de nombres rationnelsja pour limite le nombre irrationnel qu'elle définit.
Soient, en effet,
"n uv "n
les valeurs approchées par défaut du nombre irrationnel Uà™
l^y ^près. On à, d'après ce qui vient d'être dit :
u "~ Un < W
Si l'on veut que la différence (U — u„) soit inférieure à un nombre positif s, il suffira de prendre n assez grand pour que Ton ait
ce qui est toujours possible; et l'on aura a fortiori :
U — up < e si
ce qui prouve (en vertu de la définition de la limite) que la suite un a pour limite U. Pratiquement, cela revient à prendre au moins n chiffres décimaux dans la valeur approchée de U.
On sait que c'est sous cette forme de nombres décimaux que les nombres irrationnels figurent dans les calculs; on voit que Terreur commise en prenant n décimales et en négligeant les suivantes, c'està-dire en substituant au nombre irrationnel un nombre décimal
limité, peut être rendue aussi petite qu'on veut, ce qui 6ufHt évidemment pour la pratique.
20. Remarque. — Nous aurions pu étendre immédiatement aux nombres irrationnels la définition de la limite, puisque la différence de deux nombres irrationnels était supposée déjà définie. Mais nous avons préféré adopter Tordre suivi par M. Tannery ', parce qu'il montre mieux comment l'introduction des nombres irrationnels permet de généraliser la notion de limite. Pour s'en rendre compte, il suffit de rapprocher les deux propositions suivantes :
Toute suite convergente de nombres rationnels n'a pas pour limite un nombre rationnel; mais toute suite convergente de nombres réels a pour limite un nombre réel.
Ainsi, grâce à la création du nombre irrationnel, non seulement une suite convergente de nombres rationnels a toujours une limite, mais cette propriété subsiste encore pour une suite convergente quelconque à termes rationnels ou irrationnels, indifféremment. Par là se trouvent étendues à tous les nombres réels les définitions précédemment posées pour les suites infinies, et l'on peut y supprimer partout le mot « rationnel », cette restriction étant désormais inutile. Rien ne distingue donc plus les nombres irrationnels des nombres rationnels dans le calcul des limites, qui est le fondement de l'Analyse infinitésimale *.
