Quand deux quotients réels

sont égaux, on a

ab1 — a'b, car si

a - bq a' — b'q\

il en résulte

a. b'q' .--• a'. bq\ or, par hypothèse,

donc

ab' =-.. a'b.

Il est naturel d'étendre cette définition de l'égalité aux quotients imaginaires; on posera donc dans tous les cas

si l'on a

al/ = a'b.

Cette convention délinit Végalité de deux quotients imaginaires. Remarque. — De l'égalité précédente, dont les deux membres sont toujours réels, on conclut que les quotients

sont encore égaux entre eux, et que si l'un d'eux est. réel, l'autre Test aussi ; car, en supposant

a =1 a'q, il vient [cf. I, i, 4]

b = b'rj.

D'où ce théorème : Deux quotients imaginaires sont égaux si les deux termes de l'un sont équimultiples des termes correspondants de l'autre.

De ce théorème on déduit [Liv. I, Chap. i, 3, 5] la règle de réduction des fractions à leur plus simple expression ; on prouve ensuite que deux fractions irréductibles égales sont identiques, c'est-à-dire ont leurs termes correspondants égaux. On sait aussi, grâce à ce théorème, réduire plusieurs fractions au même dénominateur.

11. Si l'on applique aux quotients imaginaires les règles du calcul des quotients réels, on trouvera pour le produit et le quotient de deux nombres quelconques du système III les formules ' :

(« : b) x c c x (« : b) --. (axe) : //,

{a : b) x (a' : //) = aa' : bb', (a : b)m: (a1 : b') — al/ : ba'.

On retrouve ainsi les formules posées a prioiù [Liv. I, Chap. i, 13 et 19] pour la multiplication et la division des fractions, d'où découlent toutes leurs propriétés.

On voit que dans le système 1 II la division sera toujours possible

et univoque, car, quels que soient les nombres (a : b), (a1 : £'),

leur quotient, réel ou imaginaire, sera toujours un nombre du

même système :

al/ : ba',

al/ et ba1 étant évidemment des nombres du système II.

1. Si l'on suppose dans la première de ces formules que le produit ac est divisible par à, on voit que le produit d'un nombre et d'un quotient imaginaire peut être un quotient réel, c'est-à-dire un nombre du système II; et que le symbole complexe (a : b) équivaut, comme facteur, à l'ensemble d'un multiplicateur et d'un diviseur.

CU. U. — ORIGINE ALlîÉBRIQl E DES NOMBRES FRACTIONNAIRES 89

Ainsi la création des nouveaux nombres, qui avait pour but de rendre possible la division de deux nombres quelconques du système II, a pour effet de la rendre encore possible, en général, entre les nouveaux nombres eux-mêmes.

12. On démontre aisément que le nombre 1, module de la multiplication des nombres entiers et plus généralement des nombres du système II, est encore le module de la multiplication des nombres du système 111; autrement dit, que le quotient de deux fractions égales est égal à 1. En effet si Ton a :

(a : b) -.- (a' : //■, c'est-à-dire

al/ — ba\

le quotient de ces deux nombres :

(a : b) : (a9 : //) : al/ : ba\

est le quotient de deux nombres égaux du système II, et par conséquent est égal à i.

13. Remarque. — On n'a pu manquer de constater la parfaite analogie qui existe entre les formules d'addition et de soustraction des couples et les formules de multiplication et de division des fractions; elles ne différent les unes des autres que par le changement des signes -h et — en x et : .

Cette analogie, qui se retrouve partout entre les propriétés additives des nombres qualifiés et les propriétés multiplicatives des fractions, découle de la définition de l'égalité de ces deux espèces de nombres, où les opérations additives correspondent aux opérations multiplicatives d'une manière symétrique, comme on le voit par le rapprochement des formules

a — b-za' — //, si a -+-//. a' -+- />,

a:b -a1 : //, si a X b' a' X b.

Mais si Ton remonte au principe de ces formules elles-mêmes, on voit que l'analogie en question a sa racine dans la conception symétrique des nombres négatifs comme différences imaginaires et des fractions comme quotients imaginaires, les uns destinés à généraliser la soustraction, les autres destinés à généraliser la division [1, 12|.

14. Il reste à définir les opérations additives à effectuer sur les nombres fractionnaires, ce qui se réduit à définir leur addition, la soustraction étant l'opération inverse.

On démontre d'abord la proposition suivante f :

Si l'on réduit deux fractions au même dénominateur, par exemple

la valeur de la fraction

ne dépend pas de la valeur de ce dénominateur commun. En d'autres termes, la fraction — -7 — a une valeur constante quelle

que soit la forme qu'on donne aux fractions -t et ,/, et par suite à la

fraction — n — elle-même.

On peut alors définir la somme de deux fractions par la formule suivante :

m ii m ~+~ H

et par la formule plus générale, déduite de la précédente :

a a ab' -f- ba

Il est aisé de prouver que l'addition ainsi définie est toujours possible et univoque, ainsi que la soustraction définie comme l'opération inverse de la précédente.

15. Ainsi les opérations addilives conservent dans le système III la généralité qu'elles avaient acquise par la création du système II, et les opérations multiplicatives acquièrent une généralité semblable par la création du système III.

Ce système coïncide avec l'ensemble des nombres fractionnaires qualifiés définis dans les deux premiers Chapitres du Livre I ; on l'appelle ensemble complet des nombres rationnels (positifs, nul et négatifs). Cet ensemble est caractérisé par cette propriété, que les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique y sont toujours possibles et univoques, c'est-à-dire que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres quelconques de l'ensemble, pris dans un ordre quelconque 2, sont chacun un nombre unique et

i. Cf. Riquikp, des Axiomes mathématiques § 4, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, mai 18i)o.

2. Cette condition est essentielle, car elle distingue Pensemble complet de»