CU. II. — DISCUSSION DKS SYMBOLES M '. 0 ET
bien déterminé de cet ensemble. Cet ensemble peut donc être considéré comme l'extension de l'ensemble des nombres entiers en vue d'assurer aux quatre opérations élémentaires toute la généralité qu'exige l'indétermination propre au calcul algébrique. Au point de vue de l'Algèbre, cette extension a pour but de donner une solution unique et déterminée à toute équation du premier degré, et permet d'énoncer la proposition suivante :
Toute équation du premier degré à coefficients rationnels a une racine rationnelle, et une seule.
16. 11 y a pourtant une exception, une seule, à la propriété essentielle de l'ensemble des nombres rationnels : la division par zéro reste impossible, bien que zéro fasse partie de l'ensemble; cet ensemble n'est donc pas absolument complet au point de vue de la généralité de la division. C'est là une lacune d'autant plus choquante quelle est unique. Puisque l'ensemble des nombres rationnels comprend zérOy et que dans l'équation générale du premier degré
bx — a
les lettres a et b peuvent prendre toutes les valeurs numériques de
cet ensemble, il faut examiner les cas où Tune ou l'autre, ou bien
l'une et l'autre, deviennent égales à zéro.
Pour le cas où
ai) b ^ 0,
pas de difficulté ; la solution est évidemment
en vertu du théorème connu : Pour que le produit de deux nombres entiers soit nul, il faut et il suffit que l'un d'eux le soit.
Ce résultat concorde d'ailleurs avec l'identification à zéro des fractions de numérateur nul, et vient la confirmer; car la formule générale
donne dans le cas présent la solution :
nombres rationnels de l'ensemble des nombres rationnels positifs ou arithmétiques, où la différence de deux nombres n'existe que sous restriction [cf. Livre I, Chap. iv, 5, 1].
Au contraire, dans le cas où
// r 0, quelle que soit la valeur de a, la formule
n'a plus de sens, car dans la définition des fractions (Liv. I. Ghap. i, 1)
nous avons exclu le cas où le dénominateur serait nul.
Il conviendra de considérer l'équation primitive, qui prend alors
la forme
OXJ-ff ou, si : a — 0,
pour savoir ce que signifient les solutions
qui sont jusqu'ici des symboles vides de sens.
17. Mais, auparavant, pourquoi ces expressions sont-elles des symboles vides de sens, et non de vraies fractions? C'est la question qui se pose tout d'abord. Pour y répondre, nous sommes obligé de remonter à la source de cette exception, c'est-à-dire à la définition des nombres fractionnaires, et d'expliquer pourquoi Ton en a exclu le cas où le dénominateur serait nul. C'est là un défaut de symétrie manifeste, et une restriction arbitraire à la généralité de la définition. Si le zéro fait partie de l'ensemble des nombres entiers (et 'il faut bien qu'il en fasse partie, puisqu'il est le module de leur addition), il devrait pouvoir être pris pour dénominateur d'une fraction, tout comme, en fait, on le prend pour numérateur; car, si une fraction n'est rien de plus que « l'ensemble de deux nombres entiers rangés dans un ordre déterminé », pourquoi le nombre entier zéro ne figurerait-il pas dans cet ensemble au second rang aussi bien qu'au premier?
18. Les raisons qu'on donne généralement pour justifier cette exception n'ont aucune valeur, du moins eu égard à la définition rigoureuse et formelle que nous avons donnée des fractions. On dit, par exemple, que la division d'un nombre entier par zéro est impossible. C'est méconnaitre la question, et poser en principe l'identification des fractions à des quotients de nombres entiers, ce qui est une méthode vicieuse. On dit encore que le quotient de n par 0 n'a
Cil. II. — DISCUSSION DES SYMBOLES m '. 0 ET 0 : 0 93
pas de sens; mais le quotient de 2 par 3 n'en a pas davantage. Pourquoi ne créerait-on pas la fraction ^ comme on a inventé la
fraction ^, et ne dirait-on pas de la première, comme de la seconde,
qu'elle est le quotient de ses deux termes?
Il est évident que si l'on définit, comme dans l'arithmétique enfantine, le quotient de deux nombres par le nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende, le quotient de n par 0 n'existe pas; mais le quotient de 2 par 3 n'existe pas non plus; est-ce 0, ou
bien .r? Mais « ^ de fois » n'a pas de sens. On pourrait dire aussi que
le produit de n par 0 n'existe pas, car « répéter zéro fois » le multiplicande n'a pas de sens. Pourtant, on a défini ce produit par la formule
«XO-0
dont nous avons fait usage plusieurs fois, et qui fait partie des régies de la multiplication des nombres entiers. En général, un symbole n'a pas de sens par lui-même : il n'a que le sens qu'on veut bien lui attribuer par une définition. On multiplie bien un nombre entier par zéro; pourquoi ne conviendrait-on pas aussi de le diviser par zérol
19. Mais quittons l'ensemble des nombres entiers, et transportonsnous dans le domaine des nombres fractionnaires. On a défini le quotient de deux nombres, d'une manière générale et rigoureuse : un nombre qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende. Il résulte de cette définition que le quotient de deux nombres entiers (considérés comme des fractions de dénominateur 1) existe toujours : c'est la fraction qui a pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur.
Cela posé, considérons d'abord la fraction t., solution de l'équation
Quel est le nombre qui multiplié par zéro produit ;é/*o?La réponse est évidemment : un nombre quelconque, car tous les nombres multipliés par zéro donnent pour produit zrro. Ainsi la fraction ^ représente n'importe quel nombre entier ou fractionnaire; c'est pourquoi on l'appelle un symbole d'indétermination. D'ailleurs, en vertu de la
définition générale de l'égalité, cette fraction est égale à une fraction quelconque -*; en effet
0 n 0 " 3 puisque
()Xd ------ 0 X w - 0:
Considérons maintenant la fraction -tt-, solution de l'équation
Ox x — m.
Quel est le nombre qui multiplié par zéro produit m? La réponse est : aucun, puisque tout nombre multiplié par zéro donne zéro pour
produit. C'est pourquoi Ton dit que la fraction r- est un symbole
d'impossibilité.
Regardons-y de plus près; que veut-on dire par là? Que le quotient de m par 0 n'est aucun des nombres fractionnaires; mais cela est une pure pétition de principe, puisqu'on a commencé par exclure
arbitrairement de l'ensemble des fractions toute fraction de la forme ^.
Il est clair que la fraction - ne peut être égale à une fraction quelconque de dénominateur non nul. Mais, en revanche, elle est égale à toute fraction de dénominateur nul; en effet
car : m X 0 = 0 X n — 0.
Reprenons donc la question : Quel est le nombre (fractionnaire) qui multiplié par zéro produit m? Réponse : Toute fraction de la
forme ,- * et en effet, si on la multiplie par zéro, on trouve pour produit
n ft nxO 0
c'est-à-dire le symbole d'indétermination, qui peut être considéré comme égal à /» '. On arriverait à la même conclusion en considérant, dans l'égalité
m :0 = g, {. Ce résultat concorde avec l'indétermination du nombre m lui-môme.
Cfl. II. — DISCUSSION DES SYMBOLES m : 0 ET 0 *. 0 9*»
le premier membre comme le quotient des deux nombres entiers m et zéro, et le second membre comme le nombre fractionnaire
20. Ainsi l'expression jr n'est un symbole d'impossibilité que si on
la considère comme le quotient entier de deux nombres entiers, mais non si on la regarde comme le quotient fractionnaire des deux nombres fractionnaires m et 0, en un mot comme une fraction. Ce n'est donc pas parce que la division par zéro serait impossible « en
soi » qu'on exclut le symbole — de l'ensemble des fractions; c'est
par suite de cette exclusion qu'on « déclare impossible » par convention la division par zéro. Ainsi la division par zéro n'est impossible
que parce qu'on a exclu j. de l'ensemble des fractions; mais on l'a
exclue sous prétexte que la division par zéro était impossible : c'est un cercle vicieux. Nous avons vu, au contraire, que toute division impossible entre nombres entiers donne lieu à la création d'une fraction destinée à représenter le quotient « imaginaire ». Loin donc
d'être un obstacle à l'admission du symbole -rr parmi les fractions,
l'impossibilité de la division par zéro d'un nombre entier est une occasion et une raison suffisante de créer ce svmbole '. Aussi les mathématiciens rigoureux n'alléguent-ils pas, pour justifier cette
exclusion, la prétendue absurdité intrinsèque du symbole rr, mais
seulement « l'inconvénient qu'il y aurait d'attribuer au symbole -r un
sens, quand b est nul 3 ». Voilà qui est bien dit : il ne s'agit plus désormais de savoir si ce symbole peut avoir un sens, mais s'il y a intérêt à lui en donner un.
1. On objectera peut-être que c'est une tautologie de dire que le quotient do m par 0 est la fraction -r. Mais, répondrons-nous, quel est le quotient de
S par 3, si ce n'est la Traction ~? La tautologie ou la confusion est dans l'écri-
ture, non dans les idées.
2. Au point de vue algébrique, toutes les fois que a n'est pas divisible par 6, on crée un nouveau nombre pour être la solution de l'équation :
a — bx = 0.
II n'y a donc pas de raison pour ne pas créer ce nombre quand h = 0, et l'on allègue en vain que a n'est pas divisible par 0.
