Padé, op. cit

21. Reste à savoir quel « inconvénient » il y aurait à admettre

les fractions de la forme (). On a dit * que Ton n'obtiendrait pas ainsi

une véritable extension de l'ensemble des nombres fractionnaires, attendu que les nouveaux nombres seraient tous égaux. — Mais les

fractions de la forme -, sont aussi toutes égales entre elles, et pour

-une raison identique; cela ne nous a pas empêché de les admettre, et de les identifier toutes ensemble au nombre unique zéro.

On objectera peut-être que si Ton admettait les fractions *, la division par zéro serait tantôt impossible et tantôt indéterminée '. C'est donc pour conserver à la division ses propriétés essentielles, savoir d'être toujours possible et univoque, que l'on exclut les fractions de dénominateur nul. Mais si, grâce à cette exclusion, la division reste toujours univoque, elle n'est plus toujours possible, puisque l'on est obligé de convenir dans ce cas que la division d'un nombre entier par

zéro est impossible. Si au contraire on admettait les fractions rr, la

division serait toujours possible; mais alors elle ne serait pas toujours univoque. En résumé, dans un cas la division par zéro est impossible, dans l'autre elle est indéterminée; dans l'un et l'autre cas, les propriétés essentielles de la division subissent une infraction; l'a inconvénient » est donc le même de part et d'autre.

Allons plus loin : est-il bien sûr que le quotient de m par zéro soit indéterminé? — Sans doute, dira-t-on, puisqu'il y a une infinité de fractions qui le représentent, à savoir toutes les fractions de la

forme rz. — Mais le quotient de 2 par 3 est, lui aussi, représenté par

une infinité de fractions :

2H 8 3' tT W 12'

sans pour cela être indéterminé, parce que toutes ces fractions sont égales. Il en est de même du quotient de m par 0 : il est représenté

par toutes les fractions de la forme -; et c'est justement parce que

toutes ces fractions sont égales entre elles qu'il est déterminé, car il est égal à leur unique valeur commune.