Padé, op. cit

Cn. II. — DISCUSSION DES SYMBOLES m '. 0 ET 0 : 0 97

22. Ce quotient n'est donc vraiment indéterminé que dans le cas où le numérateur s'annule en même temps que le dénominateur; or ce cas est infiniment plus rare que le cas où le dénominateur seul s'annule. Ainsi, si Ton exclut les fractions de dénominateur zSro, la division est impossible dans tous les cas où le diviseur est nul; si au contraire on admet zéro comme dénominateur, la division sera toujours possible, et ne sera indéterminée que dans le cas où dividende et diviseur sont nuls. Si donc il ne s'agit que de conserver autant que possible les propriétés essentielles de la division, l'exception, et par suite « l'inconvénient », est infiniment moindre dans le second cas que dans le premier. Par conséquent, il y a plutôt avantage à introduire dans l'ensemble des nombres fractionnaires les fractions

de la forme j?.

Il y a enfin une raison qui nous parait décisive pour justifier cette introduction : c'est que l'ensemble des nombres fractionnaires contient les inverses de tous les nombres qui le composent, excepté de zéro. C'est là une exception singulière à lune des propriétés essentielles de cet ensemble. Puisque l'on a identifié toutes les fractions

de la forme - à zéro, il est naturel d'identifier de même toutes les n

fractions de la forme (-, inverses des précédentes et, comme elles,

toutes égales entre elles, à l'inverse de zéro, qu'on nomme Vin fini, et qu'on représente par le signe x . On écrira donc

et, de même que toute fraction de numérateur nul est dite égale à zéro ou nulle, on dira que toute fraction de dénominateur nul est égale à Yinfini ou infinie. On voit que la symétrie est parfaite entre ces deux groupes de nombres, et que l'introduction des fractions infinies s'impose en vertu de leur analogie.

23. Il est vrai que l'admission des nombres infinis engendre certaines exceptions aux règles des opérations fondamentales, et oblige à introduire dans leur énoncé des restrictions ou corrections gênantes •. Mais, si zéro joue en efTet comme diviseur un rôle à part, il est aussi un facteur exceptionnel, et l'on est obligé, soit de prévoir,