V -+- ffi - ° ou du second degré

i\txl H- cvr -4- Cs " 0

soit vérifiée par la même valeur de x. Ainsi l'équation proposée équivaut à l'ensemble de ces équations du premier ou du second degré, c'est-à-dire a les mêmes racines que toutes ces équations réunies. D'ailleurs, comme le degré d'un produit est égal à la somme des degrés de tous ses facteurs, la somme des degrés des facteurs binômes et trinômes est n. Or chaque facteur binôme donne lieu à

une équation du premier degré qui a une racine; chaque facteur trinôme donne lieu à une équation du second degré qui a deux racines. Donc l'ensemble des équations équivalentes à l'équation proposée a en tout n racines. En outre, les coefficients de toutes ces équations sont réels; donc les racines des équations du premier degré sont réelles, et les racines des équations du second degré sont réelles ou imaginaires conjuguées. Par conséquent, on peut énoncer la proposition suivante :

Toute équation algébrique de degré n, à coefficients réels, a n racines réelles ou imaginaires conjuguées.

18. H y a plus : en vertu du théorème fondamental de l'Algèbre, démontré par Akgand *, toute équation algébrique à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.

De cette proposition découle le corollaire suivant, également capital dans la théorie générale des équations :

Toute équation algébrique de degré », à coefficients complexes, a n racines complexes.

Cet énoncé montre que l'ensemble des nombres complexes peut être regardé comme complet à l'égard de la résolution des équations algébriques, puisqu'il suffit à représenter les n racines d'une équation du n* degré à coefficients complexes, et par suite h résoudre complètement les équations d'un degré quelconque. Aussi cet ensemble est-il la dernière extension possible de l'ensemble des nombres entiers au point de vue de l'Algèbre, et suffit-il à la constituer dans toute sa généralité *.