NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS
Nous avons considéré, dans le Chapitre précédent, des équations algébriques à coefficients réels et même imaginaires, d'ailleurs quelconques. Mais, ne l'oublions pas, nous avons pris pour base et pour point de départ de toutes ces constructions d'ensembles nouveaux la suite naturelle des nombres entiers; c'est cet ensemble primordial qu'il s'agit d'étendre, autant qu'il est possible et nécessaire, pour généraliser la solution des équations algébriques. Or, si l'on s'en tient rigoureusement à cette donnée initiale et à des considérations de pure Algèbre, on ne devra considérer que les équations algébriques à coefficients m tiers; on ne devra donc créer un nouveau symbole et l'admettre au rang des nombres que s'il est racine d'une telle équation. On formera ainsi l'ensemble des nombres strictement nécessaires et suffisants pour résoudre complètement toute équation algébrique à coefficients entiers, c'est-à-dire Y ensemble des nombres algébriques l .
1. Définition. — On appelle nombre algébrique toute racine de l'équation algébrique
ajc* -h a^""1 -h a^x* * -h -4- «n t x -h an - 0
où le degré n et les coefficients a0, a„ a„ an sont des nombres
entiers. On peut aussi bien supposer que ces coefficients sont des nombres rationnels (fractionnaires), car, en les réduisant au même
4. Nous empruntons les notions sommaires qui suivent à un article de M. Poincarê (Journal de Liouville, 1892). Pour de plus amples enseignements, voir Dbdbund, Théorie des nombres entiers algébriques (Gauthier Villars, 1817), paru en articles dans le Bulletin des sciences mathématiques (18*76- 1877); Dedeïisd, Sur la théorie des nombres complexes idéaux (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1880). Cf. Lejbuke-Dikichlet, Yorlesunyen ûber Zahlentheorie, éd. Dedekindy Brunswick, Vieweg u. S.
dénominateur et en multipliant par ce dénominateur le premier membre de l'équation (ce qui est permis), on les rendrait tous entiers.
Remarque. — Le signe -f- qui relie les termes du polynôme contenu dans le premier membre de Péquation peut être remplacé par le signe — si les coefficients doivent être des entiers positifs. Si au contraire les coefficients peuvent être aussi négatifs, le signe H- indiquera l'addition algébrique.
On peut toujours supposer a0 non nul, sans quoi l'équation ne serait pas de degré n ; si alors on divise tous les termes par a9 (ce qui est permis), on obtient une équation à coefficients rationnels
.,.* + £2 xn-i + £i ^«-2 + + 2nzd x + an — 0
mais où le coefficient du premier terme est 1 !. Cette nouvelle forme de l'équation peut encore servir à définir le nombre algébrique en général.
2. Définition. — On appelle nombre algébrique entier toute racine de l'équation algébrique.
xn -f- a,xn 1 -h «j.xn"â -f- -f- a„i x -h aH = 0
dont les coefficients av a*,... an sont des nombres entiers. On voit qu'un nombre algébrique est entier quand, dans l'équation à coefficients entiers qui le définit, le coefficient a0 de la puissance la plus élevée de x se réduit à l'unité.
3. On constate aisément que les différentes espèces de nombres définies dans ce Livre rentrent toutes dans la définition générale du nombre algébrique. En effet, tous les nombres rationnels qualifiés sont les nombres algébriques qui vérifient l'équation du premier degré à coefficients entiers
En particulier, les nombres entiers positifs et négatifs sont les racines des équations de la forme
(où ax est entier), ce qui montre qu'ils sont aussi des nombres algébriques entiers.
1. On peut toujours supposer le premier terme positif (ou additif), car on est libre de faire passer tous les termes d'un membre dans l'autre, c'est-à-dire de changer tous les signes.
