CO. IV. — NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS

D'autre part, tous les nombres algébriques qui vérifient l'équation du second degré à coefficients entiers (ou rationnels)

ajc* -f- a{.c + fls-0

sont des nombres réels (rationnels ou irrationnels) ou imaginaires. En particulier, les racines de l'équation

(où p et q sont entiers) seront des nombres algébriques entiers.

4. Mais si tout nombre algébrique appartient à l'ensemble des nombres complexes, considéré comme embrassant tous les autres, et notamment la totalité des nombres irrationnels, inversement, tout nombre complexe (ou irrationnel) n'est pas un nombre algébrique. 11 importe donc de dégager de l'ensemble des nombres complexes l'ensemble des nombres algébriques, qui n'en est qu'une partie. L'un et l'autre comprennent tous les nombres rationnels qualiliés; mais nous avons déjà remarqué que tous les nombres irrationnels, et

par suite tous les nombres imaginaires, ne sont pas racines d'équations algébriques à coeflicients rationnels [Chap. in, 9 et 14]. C'est donc par l'introduction des nombres irrationnels en général que l'ensemble total des nombres réels et imaginaires se distingue de l'ensemble des nombres algébriques et le dépasse.

Définition. — Tout nombre qui n'est pas algébrique est dit transvendant.

De ce qui vient d'être dit, il résulte qu'il existe des nombres transcendants; ces nombres ne peuvent être qu'irrationnels ou imaginaires. Or, dans la conception purement arithmétique et algébrique du nombre que nous exposons dans le présent Livre, on ne peut évidemment admettre que les nombres algébriques; les nombres transcendants n'y ont aucune place. Ce n'est donc pas cette conception qui peut faire soupçonner leur existence, ni à plus forte raison justifier leur création *.

5. Pour nous en tenir à l'ensemble (linéaire) des nombres réels, il y a une infinité de nombres irrationnels qui ne sont racines d'aucune équation algébrique à coefficients rationnels. L'ensemble des nombres algébriques réels n'est donc pas continu, puisqu'il admet une

1. De même qu'on distingue les nombres transcendants «les nombres algébriques, on distingue aussi les fonctions ah fabriques et les fonctions transcendantes : celles-ci sont les fonctions qui ne peuvent se traduire par les signes de l'Algèbre, c'est-à-dire qui ne peuvent s'exprimer au moyen des six opérations de l'Arithmétique : addition, soustraction, multiplication, division, élévation a une puissance connue, extraction d'une racine d'ordre connu.

infinité de coupures, qui correspondent à autant de nombres irrationnels transcendants; il est simplement connexe, comme l'ensemble des nombres rationnels qui en fait partie [cf. I, iv, 7]. Ainsi ce n'est pas par des considérations de pure Algèbre, fondées sur la généralité des équations, qu'on peut, en partant de l'idée de nombre entier, former l'idée de nombre irrationnel dans toute son extension, et construire l'ensemble des nombres réels avec son caractère essentiel, qui est la continuité.

11 y a plus : non seulement les nombres algébriques réels ne sont pas tous les nombres réels, mais ils ne constituent, ainsi que l'ensemble des nombres rationnels, qu'une infime minorité dans l'ensemble des nombres réels; on peut dire que les nombres réels transcendants sont infiniment plus nombreux que les nombres réels algébriques. C'est ce qui résulte des travaux si originaux et si profonds de M. Georg Cantor sur la théorie des ensembles inûnis *. Pour parler plus correctement (car on ne sait pas encore ce qu'est le nombre d'un ensemble infini), si Ton dit que deux ensembles ont la même puissance (ou sont équivalents) quand on peut les faire correspondre élément à élément, il faut dire que l'ensemble des nombres réels transcendants n'a pas la même puissance que l'ensemble des nombres algébriques réels, et que la multitude des premiers surpasse infiniment celle des seconds.

Plus généralement, l'ensemble des nombres entiers, celui des nombres rationnels et celui des nombres algébriques ont la même puissance, à savoir la première; au contraire, tout ensemble continu, par exemple tout intervalle réel, si petit qu'il soit, a une puissance supérieure, à savoir la seconde-, et cela est encore vrai si dans cet intervalle fini on supprime tous les nombres entiers, tous les nombres rationnels, tous les nombres algébriques, ce qui le rend évidemment discontinu. Aussi, bien qu'un ensemble équivalent à un intervalle fini et continu ne soit pas nécessairement continu, on peut dire cependant que la continuité est la véritable origine de cette seconde puissance, car on n'obtient un ensemble de cette puissance qu'en partant d'un ensemble continu, dont on peut enlever un nombre infini d'éléments, mais non en réunissant des ensembles de la première puissance, même en nombre infini 2.