Voir Note IV, § I

2. Pour l'éclaircissement et la démonstration de ces propositions, voir Note IV. § I, 16-20; {S II, 23-25; § VI, 69-70.

Cil. IV. — NOMBRES ÀUiEBRIQIES ET NOMBRES TRANSCENDANTS 119

Ainsi l'on a beau généraliser autant que possible l'idée de nombre entier par des considérations purement arithmétiques, on ne trouve jamais que des ensembles de nombres équivalents à la suite naturelle des nombres entiers, qui est l'ensemble primordial de l'Arithmétique, et Ton ne réussit pas à construire un ensemble d'une puissance supérieure. L'ensemble des nombres transcendants échappe aux prises de l'Algèbre pure, et ne peut se déduire des nombres entiers par aucune combinaison arithmétique ou algébrique (d'un nombre fini de termes). L'ensemble infiniment infini des nombres algébriques s'évanouit, pour ainsi dire, en face du moindre intervalle réel; il est impuissant à en exprimer la continuité *.

6. Il ne faut pas croire, au surplus, que l'ensemble des nombres réels, ou celui des nombres complexes, déduit du précédent, soient d'une importance secondaire en comparaison de l'ensemble des nombres algébriques, qui vient en quelque sorte se fondre et disparaître en eux ; que ceux-ci soient néanmoins l'élément essentiel et l'objet principal de l'Analyse, et qu'on puisse à la rigueur se passer des nombres transcendants ou les négliger sans inconvénient. On peut déjà présumer le contraire, puisque ceux-ci complètent l'ensemble des nombres réels (et imaginaires), qui seul fournit à l'Analyse le champ de variation continu qui lui est nécessaire. En effet, ce qui distingue radicalement l'Algèbre et l'Arithmétique de l'Analyse et de la Théorie des fonctions, c'est que les premières étudient les nombres à l'état stable, et que les dernières les considèrent comme changeants et mouvants, à l'état fluide en quelque sorte *. L'Algèbre se propose simplement de calculer des inconnues, c'est-à-dire des nombres fixes et discrets, déterminés par leurs relations avec des nombres connus, fixes aussi; tandis que l'Analyse cherche les relations qui unissent les variations corrélatives de deux ou plusieurs variables, qui sont en principe susceptibles de prendre toutes les valeurs numériques réelles ou même complexes. L'antithèse algébrique du connu et l'inconnu devient, en Analyse, l'antilhèso du constant et du variable; et au lieu que les équations algébriques déterminent en général des valeurs numériques distinctes en nombre fini, qu'on nomme leurs racines, les équations analytiques établissent une corres-

1. Il ne s'agit ici, bien entendu, que de la continuité arithmétique, c'est-àdire de la continuité de l'ensemble des nombres réels défini Li\. 1, Ch. ivf 3, 9 sqq.

2. Est-il besoin de rappeler le terme de fluente, par lequel Newton désignait une variable, el celui de fluxion, qui désignait sa variation?

pondance entre une infinité de valeurs que prennent une ou plusieurs variables indépendantes et une infinité de valeurs corrélatives que prennent d'autres variables dépendant des premières, et qu'on nomme fonctions. On conçoit en môme temps que l'Arithmétique et l'Algèbre rentrent d'une certaine manière dans l'Analyse, qui les éclaire d'un jour nouveau, en reliant, par exemple, comme valeurs successives d'une même variable les valeurs discontinues trouvées comme racines d'une équation algébrique. Aussi n'est-il pas indifférent, même dans l'intérêt de l'extension et des progrès de l'Arithmétique et de l'Algèbre pures, de pouvoir faire évoluer les nombres qu'elles étudient dans l'ensemble des nombres complexes : cet ensemble, tout en enveloppant ces nombres discrets dans son réseau continu, permet à la fois de les mieux distinguer et de les unir entre eux par des propriétés analytiques. Nous n'en voulons pour exemple que la fonction Eulérienne de seconde espèce, V (a), qui relie pour ainsi dire par un trait continu les valeurs essentiellement discontinues que prend la factorielk :

(produit des n premiers nombres entiers), quand on fait «successivement égal à tous les nombres entiers '. Cette fonction arithmétique, qui n'était définie que pour les valeurs entières et positives de la variable «, se trouve par là étendue à toutes les valeurs réelles, positives et même négatives, de la variable continue a. Inversement, pour chaque valeur entière et positive de la variable a, la fonction T {a) coïncide avec la factorielle :

et par suite prend une valeur essentiellement entière.

7. Ainsi les nombres irrationnels, et spécialement les nombres transcendants, sont indispensables à l'Analyse, puisque le moindre intervalle réel continu en contient une infinité. Mais ce n'est encore là qu'une utilité en quelque sorte collective et anonyme de ces nombres; on pourrait croire qu'ils n'ont été introduits dans l'ensemble des valeurs réelles (et complexes) que pour « faire nombre » ou plutôt pour faire masse, c'est-à-dire pour combler les lacunes de

1. Voici un tableau qui montre la correspondance entre la variable n et sa fonction ni :

Cil. IV. — NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS 121

l'ensemble des nombres rationnels (et même algébriques) [cf. Livre I, Chap. iv], tandis que ceux-ci constituent la trame solide et fixe de ce réseau où vient s'encadrer la multitude des nombres transcendants. Mais il ne faudrait pas réduire ceux-ci à la condition de simples figurants, uniquement destinés à remplir les trous de l'ensemble des nombres complexes et à le rendre continu; quelques-uns de ces nombres jouent au contraire individuellement un rôle prépondérant dans la science. Pour prouver à quel point les nombres transcendants sont nécessaires à l'Analyse et constituent ses éléments essentiels, il suffit de dire que le nombre e et le nombre tt sont des nombres transcendants !. Nous ne pouvons montrer ici l'importance incomparable de ces deux nombres fondamentaux de l'Analyse : il faudrait pour cela exposer tout le Calcul intégral. On nous permettra du moins d'indiquer quelques-unes de leurs principales propriétés. 8. On connaît le nombre x comme le rapport de la longueur de la circonférence à celle du diamètre; mais cette définition géométrique n'en donne qu'une idée bien pauvre et bien étroite, et ne peut faire deviner le rôle considérable et varié que ce nombre joue dans l'Analyse. D'ailleurs, elle ne fait que traduire une de ses nombreuses propriétés analytiques *. Ce nombre se présente en outre dans l'évaluation d'une foule d'intégrales définies et de séries convergentes; aussi sa valeur et celle de son carré sont-elles exprimables par de telles séries :

X = 7 — ô H- m — - 4-n — .... (formule de Leibnilz),

Ce qu'il y a de plus curieux, c'est que le nombre - entre dans la définition des nombres de Bernouilii^ qui sont rationnels3:

B" = qin-l^û S*» (« = i, 2, 3,...).

1. Ce fait capital, de si grande conséquence philosophique, qu'on soupçonnait depuis longtemps, n'a élé démontré que de nos jours : pour Je nombre e, par M. Hirmitk (Comptes rendus de V Académie des Scieîtces, t. LXXYII, 1873; Sur la fonction exponentielle, 1874); pour le nombre w, par Al. Li.ndemans (Malhematische Annalen, t. XX).

dr

2. C'est l'intégrale de —=====, prise entre les limites — 1 et -h .