J. Tannery, op. c

Ce fait singulier s'explique parce que dans cette expression figure un autre nombre transcendant, S2n, qui est la somme de la série

de sorte que la formule des nombres de Bernouilli exprime tc2* en fonction rationnelle de S3n, et inversement, ce qui n'a rien d'étonnant, ces deux nombres étant transcendants. En particulier, pour w — 1, on retrouve la formule du carré de z : car il vient :

or

donc

Cet exemple montre comment des relations rationnelles peuvent exister entre des nombres transcendants d'origine toute différente. 11 montre aussi que les suites ou séries infinies peuvent définir non seulement des nombres entiers, comme la série bien connue

ou des nombres rationnels, comme la série 10 . , 1 1 1

mais encore des nombres irrationnels et même transcendants. Il semble donc que l'infini numérique fasse nécessairement partie de leur définition arithmétique ou analytique.

• 9. 11 en est de même du nombre e, qui est la somme de la série convergente :

Ce nombre transcendant est la base de la fonction exponentielle, définie par la série suivante :

x . .r* ,ra . xH

qui est convergente pour toute valeur (réelle ou imaginaire) de ar, et qui se réduit au nombre e pour la valeur

Cil. IV. — NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS {23

La propriété caractéristique de cette fonction transcendante consiste en ce qu'elle est identique à sa dérivée première, et par suite à toutes ses dérivées successives. 11 en résulte qu'elle se reproduit invariablement par la dérivation, et par l'opération inverse, qui est l'intégration. C'est du reste la seule fonction qui soit égale à sa dérivée, et cette propriété singulière suffit à la définir. On conçoit dès lors le rôle exceptionnel qu'elle joue dans le Calcul différentiel et intégral; elle y occupe pour ainsi dire une place privilégiée, et y remplit un office analogue à celui du module dans les opérations arithmétiques : elle est en quelque sorte le module de l'intégration et de la différenciation, puisque c'est la seule fonction que ces opérations ne changent pas; cela explique suffisamment son importance capitale dans la recherche des fonctions primitives (quadratures) et dans la résolution des équations différentielles. C'est à cause de cette propriété de la fonction transcendante e" que le nombre transcendant e est véritablement le pivot de l'Analyse.

10. On voit par cet exemple comment les nombres transcendants peuvent engendrer des fonctions transcendantes. Inversement, une fonction transcendante donne naissance à une infinité de nombres transcendants : ainsi la fonction ex prend des valeurs transcendantes pour toutes les valeurs numériques rationnelles de l'exposant (variable) x, car, puisque le nombre e est transcendant, toutes ses puissances entières et même rationnelles sont transcendantes.

En général, les fonctions transcendantes entières sont définies par des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières positives croissantes de la variable x, c'est-à-dire par des séries de la forme suivante :

a0 H- a, x -h at x*' -h a2 xz -f- -h an .rn -f- ,

où a0, «„ av a,, .... nnt .... sont des coefficients numériques connus. Si l'on compare les fonctions transcendantes entières aux fonctions algébriques entières exprimées par des polynômes de la forme suivante :

a0-h atx -h a* x% -4- rt3 rs -f- -f- an a-",

on remarquera qu'elles n'en diffèrent que par l'infinité de la série qui les représente. C'est donc par l'infini numérique qui entre dans leur définition que les fonctions transcendantes paraissent caractérisées; de même que les nombres transcendants, elles ne peuvent s'exprimer que par des sommes d'un nombre infini de termes. On

comprend aisément que le Calcul intégral, où Ton ne considère que de telles sommes, engendre une multitude de fonctions transcendantes, et par suite de nombres transcendants.

11. La fonction ex est le type des fonctions exponentielles de la forme axy où a est un nombre donné quelconque, et x une variable continue susceptible de prendre toutes les valeurs réelles et même imaginaires *. Cette fonction transcendante est un exemple remarquable d'une fonction qui n'est primitivement définie que pour des valeurs discontinues de la variable, et qu'on étend, par interpolations successives, à l'ensemble continu des valeurs réelles de celte variable. Nous avons dit plus haut que la fonction r {a) pouvait être considérée comme l'extension, à toutes les valeurs réelles de l'argument «, de la factorieile w! définie exclusivement pour les valeurs entières de n. De même, a étant un nombre positif quelconque, on n'a défini, dans les éléments, que les puissances entières de a : a* représente le produit de n facteurs égaux à a ; n est donc essentiellement un nombre entier, et l'exponentielle an n'est définie que pour les valeurs entières et positives de l'exposant. On remarque sans peine l'analogie de celte définition avec celle de la multiplication : le produit na représente la somme de n nombres égaux à a. L'élévation aux puissances est donc primitivement à l'égard de la multiplication une opération composée ou répétée, comme la multiplication ellemême à Tégard de l'addition. Mais, de même que, par suite de la généralisation du nombre entier, la multiplication se trouve étendue aux facteurs négatifs, fractionnaires, irrationnels, imaginaires, l'élévation aux puissances s'étend aussi progressivement aux mêmes nombres pris pour exposants, de manière que la fonctjon exponentielle soit définie pour toutes les valeurs réelles (et même imaginaires) de la variable*. Grâce à celte extension, la fonction continue a* relie la suite discontinue des puissances entières et positives de a par lesquelles elle passe, et avec lesquelles elle coïncide quand la variable indépendante x prend une valeur positive entière.

On démontre aisément que lorsque, a étant supposé positif, x varie de — ce à -f- x en parcourant toutes les valeurs réelles, la fonction

\. 11 ne faut pas confondre la fonction exponentielle ax avec la fonctionpuissance j.,a, car dans celle-ci c'est le nombre élevé à la puissance connue a qui est la variable, tandis que dans l'exponentielle c'est Yexposant du nombre constant a. On sait d'ailleurs que les expressions ax et x* ne sont nullement équivalentes.