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CH. IV. — NOMBRES ALGEBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS i2o

varie de 0 à + x ou de + x à 0 (suivant que a est supérieur ou inférieur à 1) en passant par toutes les valeurs positives !.

En particulier, la fonction ex, quand l'exposant x parcourt l'ensemble continu des nombres réels, croit d'une manière continue de 0 à -h oo , et passe une fois, et une seule, par chaque nombre réel positif. Il y a donc une valeur de ar, soit a, et une seule, pour laquelle on a, par exemple,

D'après cela, une fonction exponentielle quelconque peut se réduire à la fonction e" définie précédemment. En effet, y est fonction exponentielle de x si Ton a

où

Or, en vertu de ce qui vient d'être dit.

Donc

L'exposant variable x se trouve seulement multiplié par une constante a.

12. La fonction inverse de la fonction exponentielle est la fonction logarithmique : la formule précédente établit une correspondance univoque et réciproque entre les valeurs réelles de x et les valeurs positives de y. Si Ton considère y comme variable indépendante, et x comme fonction de ?/, on dira que x est le logarithme de y dans le système à base a. On voit tout de suite qu'un nombre négatif n'a pas de logarithme réel.

De même que toute fonction exponentielle se ramène à l'exponentielle-type ez, un logarithme à base quelconque peut se réduire à un logarithme du système à base e, qu'on nomme système naturel, hyperbolique ou népérien. En effet, les formules précédentes montrent que a est le logarithme népérien de a, et que ix est le logarithme népérien de y. Or x est le logarithme de y par rapport à la base a; donc, pour en déduire le logarithme népérien de y, il suffit de le multiplier par la constante a, c'est-à-dire par le logarithme népérien de la base a.

Le système des logarithmes népériens (à base e) s'introduit natu-