J. Tanner y, op. cit

Tellement dans l'Analyse, et s'impose de préférence à tout autre, pour des raisons analogues, et même au fond identiques, à celles qui expliquent la prééminence de l'exponentielle ex sur toutes les autres. En effet, de même que, si une fonction y a pour dérivée y, elle ne peut être

que e*j de même, si une fonction y a pour dérivée - (l'inverse de

la variable), elle ne peut être que le logarithme népérien de x. Aussi la fonction logarithmique occupe-t-elle dans l'Analyse une place aussi extraordinaire que la fonction exponentielle, et qui tient uniquement h ses précieuses propriétés théoriques : quand même on n'eût jamais inventé les logarithmes vulgaires pour abréger les calculs

numériques, la fonction logarithmique serait nécessairement apparue

comme fonction primitive de la fonction extrêmement simple -, et

eût été une des premières fonctions transcendantes créées par le Calcul intégral1.

13. On en peut dire autant des fonctions circulaires ou trigonomctriques (sinus, cosinus, tangente, etc.) qui jouent dans l'Analyse un rôle presque aussi considérable que les précédentes, auxquelles, comme on le verra tout à l'heure, elles se rattachent intimement. Si l'on ne peut se douter de l'importance toute spéculative des logarithmes quand on ne connaît que leur définition élémentaire (par les progressions) et leur usage pratique (par les tables), la définition géométrique des fonctions circulaires et leur application à la Trigonométrie ne permettent guère de prévoir la fécondité de leur emploi dans l'Analyse. Quand même on n'aurait jamais eu d'angles à calculer ni de triangles à résoudre, ces fonctions transcendantes se seraient introduites dans le Calcul intégral dès le début, comme fonctions primitives des fonctions élémentaires

V'I — s1' 1 + .r" etc"

1. On peut remarquer que, dans certains cas au moins, cette fonction s'exprime, comme la fonction exponentielle, par une série infinie en x. Ainsi :

, .. , X X* , X* xK , X»

log \1 -f- .r) = j ô "+" "3 ~~ 7 "^ 5~ ~

pour | x | < 1.

En particulier, il vient, pour.r = 1 (en vertu du théorème d'Abel) :

log - = î — ^ + 3 "~ I + 5 "~

(J. Tanxery. op. cit.. §§ 103, 107, 110.)