CH. IV. — NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS J

D'ailleurs elles peuvent se définir, sans recourir à aucune intuition géométrique, par des séries qui procèdent suivant les puissances entières de la variable indépendante l :

COS X - - 1 t1-; -+-

sin x

Ces séries, étant convergentes pour toutes les valeurs réelles et même imaginaires de la variable, définissent des fonctions transcendantes entières, analogues à la fonction cx. En outre, cette définition purement analytique met en évidence la relation qui unit ces fonctions à la fonction exponentielle au moyen des imaginaires. En effet, on a, en remplaçant, dans la série qui représente ex, x par xi (i symbole imaginaire) *,

. , xi x1 x*i xi x*i

d'où Ton conclut la formule fondamentale :

e11 i- cos x -f- i sin x.

11 en résulte une relation très intéressante entre les deux nombres transcendants e et 7t, d'origine si diverse et de nature si hétérogène. En effet, les fonctions circulaires sin x, cos x sont périodiques, et ont pour période 2*; ce qui veut dire qu'elles reprennent les mêmes valeurs quand l'argument x augmente ou diminue de 27t. Gela peut s'expliquer géométriquement par ce fait que, si un point fait un tour complet sur le cercle de rayon 1 (dont la circonférence est mesurée par 2n) et revient à sa position initiale, toutes les lignes trigonométriques que détermine ce point reprennent la même grandeur et la même direction. Il s'ensuit que la fonction ex' sera aussi périodique et aura pour période 27t. En particulier, on aura les identités suivantes :

où apparaît ce fait analytique extrêmement curieux, qu'un nombre transcendant e, élevé à une puissance purement imaginaire marquée par un autre nombre transcendant 7t, est égal à un nombre, non seulement réel, non seulement rationnel, mais entier : à l'unité (positive