J. Tan.nlry, op. cit

2. On remarquera que la définition de l'exponentielle e* par une série permet d'étendre cette fonction aux valeurs imaginaires de la variable (voir § il).

ou négative). On peut énoncer cette propriété, qui relie d'une manière si surprenante les deux nombres fondamentaux de l'Analyse, en disant que le nombre tz est la demi-prriodc imaginaire de l'exponentielle c" *. Ainsi, quand même on n'aurait jamais eu l'idée du cercle ni aucune autre notion géométrique, le nombre tz ne jouerait pas moins un rôle prépondérant dans l'Analyse et dans la Théorie des fonctions. On le retrouve môme, ainsi que le nombre e d'ailleurs, dans le Calcul des probabilités, qui ne repose que sur les idées d'ordre et de nombre entier *.

14. Ces considérations, ainsi que bien d'autres analogues, prouvent, d'une part, l'importance des nombres complexes et du symbolisme imaginaire, d'autre part, l'utilité des nombres transcendants dans l'Analyse, et la valeur singulière de certains d'entre eux. Or, si l'on s'en tient strictement à l'ensemble primordial des nombres entiers et aux six opérations arithmétiques effectuées sur des nombres entiers, on ne parvient pas à construire l'ensemble continu des nombres réels et imaginaires, ni, en général, à composer un ensemble d'une puissance supérieure à celle de l'ensemble primitif. L'Algèbre, il est vrai, permet d'étendre infiniment cet ensemble, et constitue un prolongement et un développement immense de l'Arithmétique élémentaire; mais les nombres algébriques, résultat ultime de la généralisation algébrique de l'idée de nombre, ne suffisent pas encore à l'Analyse, dont les éléments essentiels sont au contraire des nombres transcendants. On ne réussit donc pas à fonder l'Analyse sur l'unique notion du nombre entier, tant que L'on reste au point de vue purement arithmétique, et que l'on s'interdit rigoureusement toute considération d'infinité et de continuité.

15. Sans doute, un algébriste exclusif ou un « fini liste » intransigeant peuvent toujours nous répondre que les nombres transcendants n'existent pas 3, et que les nombres algébriques, voire même

1. Cm knot a fort bien montré l'affinité profonde des imaginaires et des fonctions circulaires {Correspondance entre l'Algèbre et la Géométrie, chap. xn) et a fait ressortir l'importance capitale de la liaison que les imaginaires établissent entre les fonctions exponentielles et circulaires (Théorie des fonctions, liv. II, chap. n). « Il n'y a pas, dans l'analyse mathématique, de fait plus remarquable que cette liaison inattendue qui s'établit, comme une conséquence de remploi du signe algébrique y7 — t, d'une part entre les fonctions exponentielles cl les fonctions trigonométriques, d'autre part entre les logarithmes et les arcs de cercle : c'est-à-dire entre des fonctions si diverses de nature et d'origine, tant qu'on ne remonte pas à la loi qui régit leurs accroissements différentiels. »

2. Ohminot, Correspondance entre V Algèbre et la Géométrie, § 149.